İç içe kökler

Matematikte iç içe kökler kök içinde köklü ifadelerin bulunması durumudur.

İç içe sonsuz kökler

değiştir

  genel denklemi için:

  yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa   şeklinde düzendi.

  denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa   olur.

İki defa yazılırsa   olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.

Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa :  şeklinde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.

Bunun tersi de doğrudur. Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye   denilirse   elde edilir.

Çünkü :   içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa  
şeklinde olur işleme devam edilirse   oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti.   ve ispat tamamlanmış olur.

Genel Sonuç :   dir.

Eğer denklem   şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.

  şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa   olur. İki defa yazılırsa   şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir.   şeklinde sonsuza gider. Bunun tersi de doğrudur.

Tersi için   denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa   devam edilirse   bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti.   yerine x yazılırsa   olur. Bu denklem düzenlenirse   denklemi elde edilir.   denkleminde   Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.

Genel Sonuç 2 :   ve   olur.

Genel Sonuç 2 için ikinci yol:   bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda   denkleminde artık sabit sayı olmaz.

  şeklinde olur.

Bölüm durumundaki iç içe sonsuz kökler

değiştir

İspatlar dan sonra bir ispat daha

  şeklinde gösterilen iç içe kökler denir.   işlemin sonucuna m denilirse   şeklinde bir denkleme dönüşür. (Çünkü ikinci köklü ifadede sezgisel olarak m ye eşit oluyor.İspatı yukarıda yapıldı)   olur işleme devam edilirse   eşit olur. Her iki tarafın   dereceden kökü alınırsa   eşit olur.   eşitti. O zaman   eşitliğinde doğrudur.

Genel sonuç 3

değiştir

 

İkinci dereceden denklemin iç içe köklerle ilişkisi

değiştir

Yukarıda ispatlar yapıldı. Genel iç içe kökler oluşturuldu.

  denkleminde   eşitti.   alınması durumunda   denklemi ve   oluşur.

Sonuç olarak   eşittir.

İkinci dereceden denklemin bir kökü   dır. O zaman x ler aynı olduğundan eşitleme yapılır.   eşitliği yazılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iç içe köklü ifadenin pozitif bir sonucu olması. Negatif sonuçlar çözüm kümesine alınamaz. (Bir ispat daha yapıldı.)

İkinci dereceden denklemde sabit sayı yok ise :

  şeklinde bir denklem oluşur. Yandaki denklem   denkleminin   için özel bir durumudur.   denkleminde   eşitti. Burada   için

  olur. x ler eşit olduğundan dolayı   eşitliği yazılabilir.

Sonuç 1

değiştir

  eşittir.

  ve   dönüşümleri yapılırsa:   işleme devam edilirse  

  eşitliğine dönüşür. Daha da düzenlisi her iki tarafı   ile çarpılırsa iç içe Karekökler genel sonucu   olur. Burada   olduğuna dikkat ediniz.

Sonuç 2

değiştir

 

  dönüşümü yapılırsa:   olur.

İç içe kökler

değiştir

 ,

  şeklinde olan köklere iç içe kökler denir.

Kökler üssü ifadelerin kesirli biçimidir.

  şeklindeki ifade üssü sayıların bir özelliğidir. İç içe köklerde aynı şekildedir. Kök sembolü aslında kesirli üsler için özel bir parantezdir. Aslında aynılar.

En önemli özelliği :   bu ifade köklü ifadeleri ve üslü ifadeleri birbirine bağlayan bir eşitliktir. Bu özellikten yola çıkarak   şeklindeki ifadeyi üssü ifadeye çevirmek mümkün.

  burada ilk olarak   şeklinde olur. Devam edilirse   aynı şekilde   şeklinde olur.  özelliği uygulanırsa   olur.

Sıra   ifadesinde   biçimine dönüşür. Bu da aynı şekilde   olur.Aynı özellik uygulanırsa   sonucuna ulaşılır.   ifadesi   formundada yazılabilir.

 

A-)   köklü ifadesi için   denilirse her iki tarafın karesi alınırsa   şekline dönüşür.

  ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa   şeklinde olur.   denilmişti. O zaman   eşitliği olur.

 

B-)

  ise   denilirse her iki tarafın karesi alınırsa   şekline dönüşür.

  ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa   şeklinde olur.   denilmişti. O zaman   eşitliği olur.

 

Not: Bu işlemler ispata dayalıdır. İçerisinde ezbere dayalı bir işlem yoktur. Tamamen mantık üzerinedir.