İntegral

İntegral veya tümlev, toplama işleminin sürekli bir aralıkta alınan hâlidir. Türev ile birlikte kalkülüsün temelini oluşturan iki işlemden birisidir. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde aynı zamanda türevin ters işlemidir.

Alan hesabı olarak integralin uygulanması

Belirsiz integral, türev alma işleminin tersine tekabül eden işlemdir. Belirli integraller ise, belirsiz integraller kullanılarak hesaplanır. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde bir fonksiyonun bir aralıkta belirli integralini hesaplamak için önce o fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanır, sonra bu fonksiyonun iki uç noktasındaki değerleri çıkarılarak belirli integral elde edilir. Belirli integraller; alan, hacim ve bunların çok boyutlu karşılıklarını hesaplamak için gereklidir. Tek değişkenli fonksiyonlarda, belirli bir aralıkta alınan integral, o aralık boyunca fonksiyonun grafiğinin altında kalan alanı verir. İntegraller aynı zamanda diferansiyel denklemlerin çözümlerinde vazgeçilmezdir.

Tanım

Gottfried Wilhelm Leibniz

İntegral, verilen bir f(x) fonksiyonunu türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun integrali veya ilkeli denir. İntegral, Latince toplam kelimesinin ("ſumma", "summa") baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş ∫ işareti ile gösterilir. Bu işaret Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

F(x)=\int f(x)+c,

c bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

S=\lim _{\Delta x\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i})\Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.

Köken

Sir Isaac Newton

Bernhard Riemann

Dilimize İngilizceden veya Fransızcadan geçmiş integral sözcüğü "bütüne ait olan" anlamına gelir ve İngilizceye Orta Fransızca intégral sözcüğünden; Orta Latince integralis (tüm yapmak, tümlemek) sözcüğünden; Latince integer (tüm, bütün, tam) sözcüğünden gelmiştir. Ayrıca integer sözcüğü tam sayı terimine karşılık olarak İngilizceye geçmiştir.^[1]
Türkçede tümlev sözcüğü, Osmanlıca mütemmem ile tamamî sözcüklerinin ve İngilizcedeki integral sözcüğünün anlamını karşılamak için türetilmiştir.^[2] tümlev sözcüğü, "tümlenmiş şey" anlamına gelir. İsimden fiil yapan /-ev,-av/ yapım ekiyle kullanımda olan tümle[mek] fiilinden; isimden fiil yapan /-le[mek]/ yapım ekiyle muhtemelen Öz Türkçe *tüm (bknz. tümen) kökünden türetilmiştir.
Osmanlıcada mütemmem sözcüğü kullanılmış (Arapçadaki *tm (tam) kökünden gelir) ancak Arapçada şu anda "olgun, evrimleşmiş, bütünleşmiş" anlamındaki tekâmül [1] 23 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. sözcüğü kullanılmaktadır (kâmil, mükemmel, küme ile aynı kökten: *kml).^[3]

İntegral alma yöntemleri

Değişken değiştirme

Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, eski değişkende yerine konur.

Basit örnek

Aşağıdaki 6.dereceden bir polinomu ilkel fonksiyon kullanarak çözmek neredeyse imkânsızdır. Bunun için değişken değiştirme yöntemini kullanalım:

x^{6}-9x^{3}+8=0.\,

Bu denklemde x³ = u değişken değişimini uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir:

u^{2}-9u+8=0\,

Böylece denklem ikinci dereceden denklem biçimine dönüştü. Bu denklemin kökleri;

u=1\quad {\mbox{ve}}\quad u=8'dir.

Bu yeni değişkenin sonuçlarını, ham değişkende yerine koyalım:

x^{3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x^{3}=8\quad \Rightarrow \qquad x=(1)^{1/3}=1\quad {\mbox{ve}}\quad x=(8)^{1/3}=2.\,

Kısmi integral

Eğer integral ${\int f(x)g(x)dx}$ şeklinde verilmiş ve $f(x)$ veya $g(x)$ birbirleri cinsinden yazılamıyorsa kısmi integrasyon yöntemi uygulanır. Bu indirgeme sırasıyla logaritma, ters trigonometrik fonksiyonlar, polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar ve son olarak üstel fonksiyonlara uygulanır. Bazı eğitmenler bu fonksiyonların baş harflerini ("LAPTÜ") bir kolay hatırlama yöntemi olarak kullanır.

$\int f(x)g(x)dx$

integralinde $f(x)$ yukarıdaki sıralamada önce geliyorsa, $f(x)=u$ değişken değiştirmesi yapılır ve geri kalan ifadeler ile $g(x)dx=dv$ denklemi kurulur. Bunu takiben, ${\textstyle u={df(x) \over dx}}$ , ${\textstyle v=G(x)}$ denliklerine ulaşılır. Burada $G(x)$ , $g(x)$ 'in integrali alınmış halidir.

Sonuç olarak verilen integral $I$ , $v$ ve $u$ cinsinden yazılabilir:

${\textstyle I}$ = $uv-\int vdu$

Örnek 1

$\int lnxdx$ integrali değişken değiştirme yöntemiyle integrallenemez bu yüzden kısmi integrasyon uygulamak gerekir. Yukarıdaki indirgeme sırasında logaritma ( $lnx$ ) önceliklidir, dolayısıyla:

$lnx=u$ , $dx=dv$

${\frac {dx}{x}}=du$ , $x=v$

Burada belirsiz integralin keyfi sabiti $c$ henüz eklenmemiştir. Bu sabit en son integralde eklenecektir. Kısmi integrasyon formülü uygulandığında,

$uv-\int vdu$ $=xlnx-\int {\frac {1}{x}}xdx$ halini alır. İntegraldeki $x$ 'ler sadeleşir. Sonuç bulunur:

$xlnx-x$ $+c$

Örnek 2

$\int xe^{x}dx$ integrali için de kısmi integral uygulanmalıdır. Yukarıdaki indirgeme önceliğine göre polinom ( $x$ ) üstel fonksiyondan ( $e^{x}$ ) önce gelir: