Ardışık sayılar

Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.

n: Bir tam sayı olmak üzere

ardışık tam sayılar: $n,(n+1),(n+2),...$

Ardışık tek sayılar : $2n-1,2n+1,2n+3,...$

Ardışık çift sayılar : $2n,2n+2,2n+4,...$ (ardışık tek sayılar ve çift sayılar ikişer artarlar.)

"Gauss ve Matematikteki Büyük Başarısı: Ardışık Sayıların Toplamı"

Ardışık sayıların mucidi olarak bilinen Carl Friedrich Gauss, 30 Nisan 1777'de Almanya'nın Braunschweig şehrinde doğdu. Gauss, matematiğe olan merakı sayesinde genç yaşta büyük başarılara imza attı.

Bir gün, Gauss'un ilkokul öğretmeni sınıfta ders anlatırken öğrencilerine, 1'den 100'e kadar olan tüm sayıların toplamını bulmalarını söyledi. Öğretmenin birikmiş işleri vardı ve amacı öğrencileri biraz oyalamaktı; ayrıca matematiksel düşünmeyi de öğretmek istiyordu. Ancak Gauss çok daha fazlasını başardı.

Gauss, birkaç saniye düşündükten sonra cevabı buldu ve defterine yazdı. Diğer öğrenciler, hala sayıları toplamaya çalışırken, Gauss öğretmenin yanına gitti ve cevabı söyledi: 5050.

Öğretmen şaşkına döndü ve Gauss'un nasıl bu kadar hızlı bir şekilde cevabı bulduğunu sordu. Gauss, ardışık sayıların toplamını hesaplamak için bir formül keşfettiğini söyledi. Toplamı istenen sayıları düz ve tersten alt alta yazarak topladığında üstteki ve alttaki sayıların toplamı sürekli 101 sayısını veriyordu.

$1+2+3+...+100=A$

$100+99+98+...+1=A$

+___________________________

$101+101+101+...+101=2.A$

Gauss daha sonra 101 ile terim sayısını çarptığında kendisinden istenen sonuçtan 2 tane elde ettiğini gördü. $101.100=2.A$ işlemini gerçekleştirdi ve Gauss, çok kısa yoldan $A=\left({\frac {101.100}{2}}\right)=5050$ cevabını buldu.

Bu başarısıyla Gauss, matematik dünyasında büyük bir olay haline geldi ve daha sonra bilim camiasında büyük bir ün kazandı. Gauss'un ardışık sayıların toplamını bulmak için keşfettiği formül, bugün bile matematiksel hesaplamaların bir parçasıdır ve matematik eğitiminde kullanılmaktadır. Bu formülü kullanarak, 1'den n'ye kadar olan tüm tamsayıların toplamını $\left({\frac {n.(n+1)}{2}}\right)$ olarak bulunur.

Ardışık Sayıların Pascal üçgeni ile ilgisi

n
0	1
1	1  1
2	1  2  1
3	1  3  3  1
4	1  4  6  4  1
5	1  5 10 10  5  1
6	1  6 15 20 15  6  1
7	1 7 21 35 35 21  7  1
8	1 8 28 56 70 56 28  8  1
↓

Pascal üçgenini incelersek üçgenin sağ kenarını sadece 1'lerin oluşturduğu

$1,1,1,...,1$ dizisi vardır.

Daha içte

$1,2,3,...,n$ dizisi vardır.

Daha içteyse

$1,3,6,10,...,n(n+1)/2$ dizisi bulunmaktadır.

Ardışık toplamların, toplamların, ... toplamı, bizi en sol alttaki farka götürür. Buradaki örnekte bu değer $8-1=7$'dir.