Basit bağlantılı uzay

Topolojide, geometrik bir nesne veya uzaya yol bağlantılıysa ve iki nokta arasındaki her yol sürekli bir şekilde bir diğerine dönüştürülebiliyorsa basit bağlantılı (veya 1-bağlantılı) adı verilir.

Tartışma

Matematiksel kesinlik gözetmeden ifade edilirse, 3 boyutlu uzayda bir nesne tek parçaysa ve nesnenin bir tarafından girip diğer tarafından çıkan bir delik yoksa basit bağlantılıdır. Örnek olarak, bir simit veya kulplu kahve fincanı basit bağlantılı değildir; ancak esnek lastikten yapılmış bir top basit bağlantılıdır. İki boyutta, bir çember basit bağlantılı değildir; ancak bir disk veya bir doğru basit bağlantılıdır. Bağlantılı olan ancak basit bağlantılı olmayan uzaylara basit bağlantılı olmayan veya eski moda deyişle çoklu bağlantılı adı verilir.

Bir küre basit bağlantılıdır çünkü her döngü (yüzey üzerinde) bir noktaya büzülebilir.

Basit bağlantılılığın gösterimini resmetmek için üç boyutta bir nesne düşünelim; mesela bir kutu, çörek veya tribüşon şeklindeki bir nesneyi. Köşeleri katı olan, su dolu garip şekilli bir akvaryumu nesne olarak düşünelim. Şimdi de elinde uzun bir parça çubuk olan bir dalgıcı düşünelim ve bu dalgıç akvaryum içindeki suda bu çubuğu takip etsin. Sonra, istediği şekilde çubuğun iki ucunu birleştirsin ve böylece kapalı bir döngü yapsın. Şimdi bu döngü büzülmeye başlayıp küçüldükçe küçülecektir. (Burada döngünün sihirli bir şekilde nasıl büzeleceğini bildiğini ve pürüzlü ve sivri kenarların kırılmayacağını varsayıyoruz.) Eğer döngü her zaman bir noktaya büzülüyorsa, o zaman akvaryumun içi basit bağlantılıdır. Eğer döngü bir şekilde yakalanıyorsa- mesela çörekteki merkezi delik gibi- o zaman nesne basit bağlantılı değildir.

Burada tanımın sadece "kulplu şekli" delikleri hariç bıraktığını unutmayalım. Bir küre (veya dengi bir şekilde, oyuk merkezli kauçuk bir top) basit bağlantılıdır çünkü kürenin yüzeyindeki herhangi bir döngü kürenin oyuk bir deliği olmasına rağmen bir noktaya büzülebilir. Daha güçlü bir şart olan, nesnenin herhangi bir boyutta hiçbir deliğe sahip olmamasına büzülebilirlik denir.

Kesin tanım ve dengi formülasyonlar

Bu küme basit bağlantılı değildir çünkü üç adet deliği vardır.

Bir X topolojik uzayı yol bağlantılı ise ve herhangi bir sürekli f : S¹ → X gönderimi (S¹ Öklid 2-uzayında birim çemberi gösteriyor) şu aşağıdaki bağlamda bir noktaya büzülebiliyorsa, X basit bağlantılıdır: Bir tane sürekli F : D² → X gönderimi (D² Öklid uzayında birim disk gösteriyor) olsun öyle ki F 'nin S¹'e sınırlaması f olsun.

Dengi bir formülasyon ise şudur:

X in bağlantılı olması ancak ve ancak şu halde olur:

X yol bağlantılıdır ve herhangi iki p : [0,1] → X ve q : [0,1] → X yolunun (yani sürekli gönderimlerinin) başlangıç ve bitiş noktaları aynıysa (p(0) = q(0) ve p(1) = q(1)), o zaman p ve q (0,1)'e görece homotopiktir.

Sezgisel olarak, bu şu anlama gelir: p, sonnoktaları sabit kalmak şartıyla q 'yu elde etmek için "sürekli bir şekilde bozunur". Bu yüzden basit bağlantılı terimi şunun için kullanılır: X içindeki herhangi iki nokta için, aslında bu iki noktayı bağlayan sadece ve sadece "esaslı" tek yol vardır.

Aynı tanımı veren üçüncü ifade ise şudur: X ancak ve ancak X yol bağlantılıysa ve X 'in temel grubu aşikarsa, yani sadece birim elemandan oluşuyorsa basit bağlantılıdır.

Karmaşık analizde sık kullanılan bir diğer formülasyonsa şudur: C 'nin açık bir kümesi olan X ancak ve ancak hem X hem de X 'in Riemann küresindeki tümleyeni bağlantılıysa basit bağlantılıdır.

Örnekler

Bir simit basit bağlantılı değildir. Renkli döngülerin hiçbiri yüzeyi terk etmeden bir noktaya büzülemezler.

• Öklid düzlemi R² basit bağlantılıdır ama R²'nin orijin eksikli hali basit bağlantılı değ*ildir. Eğer n > 2 ise, o zaman hem Rⁿ hem de Rⁿ 'nin orijin eksikli hali basit bağlantılıdır.
• Dengi olarak: n boyutlu küre Sⁿ ancak ve ancak n ≥ 2 ise basit bağlantılıdır.
• Simit, (eliptik) silindir, Möbius şeridi ve Klein şişesi basit bağlantılı değildir.
• Her topolojik vektör uzayı basit bağlantılıdır. Bu Banach uzaylarını ve Hilbert uzaylarını da içerir.
• Özel dik grup SO(n,R) n ≥ 2 için basit bağlantılı değildir. Özel birimsel grup SU(n) basit bağlantılıdır.
• Uzun doğru L basit bağlantılıdır ancak tıkızlaştırması olan uzatılmış uzun doğru L* basit bağlantılı değildir (yol bağlantılı bile olmadığı için).

Özellikler

Bir yüzey (iki boyutlu topolojik manifold) ancak ve ancak bağlantılı ise ve cinsi 0 ise basit bağlantılıdır. Sezgisel olarak, cins yüzeyin "kulp" sayısıdır.

Eğer bir X uzayı basit bağlantılı değilse, bu küsur X 'e güzel bir şekilde gönderilen bir basit bağlantılı uzay olan X in evrensel kapsanışı ile düzeltilebilir.

Eğer X ve Y homotopi denk ise ve X basit bağlantılı ise, o zaman Y de basit bağlantılıdır.

Basit bağlantılı bir kümenin sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü basit bağlantılı olmak zorunda değildir. Mesela, üstel fonksiyon altında karmaşık düzlemin görüntüsü C - {0} olur ki bu da basit bağlantılı değildir.

Basit bağlantılılık kavramı karmaşık analizde şu nedenlerden dolayı çok önemlidir:

• Eğer U karmaşık düzlem C 'nin açık bir kümesi ise ve f : U → C holomorf fonksiyonsa, o zaman f 'nin U üzerinde terstürevi olan bir F vardır ve U içindeki f 'yi integrand olarak kabul eden her çizgi integralinin değeri sadece yolun u ve v sonnoktalarına bağlıdır ve F(v) - F(u) olarak hesaplanabilir.
• Riemann gönderim teoremi, C 'nin boş olmayan basit bağlantılı açık bir kümesinin (C hariç) açıkorur ve birebir örten şekilde birim diske gönderilebileceğini ifade eder.

Ayrıca bakınız

• n-bağlantılı

Kaynakça

• Spanier, Edwin (Aralık 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5. 
• Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3. 
• Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4. 
• Gamelin, Theodore (Ocak 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9. 
• Joshi, Kapli (Ağustos 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.