Bernoulli dağılımı

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve $q=1-p$ olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim insanı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Bernoulli

Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler	$0\leq p\leq 1\,$ (reel)
Destek	$k=\{0,1\}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\begin{matrix}q&k=0{\text{ için}}\\p&k=1{\text{ için}}\end{matrix}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}$
Ortalama	$p$
Medyan	yok
Mod	${\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}$
Varyans	$pq$
Çarpıklık	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Fazladan basıklık	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
Entropi	$-q\ln(q)-p\ln(p)$
Moment üreten fonksiyon (mf)	$q+pe^{t}$
Karakteristik fonksiyon	$q+pe^{it}$

Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir rassal değişken ise;

$\Pr(X=1)=1-\Pr(X=0)=1-q=p.\!$

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

$f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{eger }}k=1,\\1-p&{\mbox{ eger }}k=0,\\0&{\mbox{diger hallerde.}}\end{matrix}}\right.$

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer

$E\left(X\right)=p$,

ve varyans

${\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,$

olur.

Bernoulli dağılımı için yüksek veya düşük p değerlerinde basıklık ölçüsü sonsuzluğa yaklaşır. Fakat $p=1/2$ için basıklık derecesi ölçümü -2 olup, bu değer diğer bütün olasılık dağılımlar için basıklık ölçüleri ile karşılaştırıldığında bunun en küçük olduğu görülür.

Bernoulli dağılımı üstel ailesi içinde bulunan bir dağılımdır.

İlişkili dağılımlar

• Eger $X_{1},\dots ,X_{n}$ bağımsız fakat aynen dağılım gösteren ve her biri p başarı olasılığı ile Bernoulli dağılımı gösteren rassal değişkenler olurlarsa,

$Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {B} (n,p)$

yani bir binom dağılımdir.

• Kategorik dağılım herhangi bir sabit sayıda aralıklı değerler alan değiskenler ile Bernoulli dağılımının bir genelleştirilmesidir.
• Beta dağılımının eşlenik önseli Bernoulli dağılımıdır.

İçsel kaynaklar

• Bernoulli denemesi
• Bernoulli süreci
• Bernoulli örneklemesi
• Örneklem büyüklüğü