Carlson teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Carlson teoremi üstel tipli bir tam fonksiyonun sanal sayı ekseninde üzerindeki büyümesi ile pozitif tamsayılarda sıfır değeri alması arasında ilişki kuran bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu doktora tezinde kanıtlayan Fritz David Carlson'un adını taşımaktadır.^[1]

Teoremin kanıtı Phragmén–Lindelöf teoreminde elde edilebilir. Teorem, Newton serilerinin açılımlarının biricikliğini göstermede uygulamaları mevcuttur.^[2]

Teoremin ifâdesi

$f$ , üstel tipli bir tam fonksiyon olsun; yani, $f$ karmaşık düzlemde her yerde holomorf olsun ve bir $C$ ve bir $τ$ gerçel sayısı için $|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C}$ büyüme koşulu sağlansın. Eğer

$y\in \mathbb {R}$ için $|f(iy)|\leq Ce^{m|y|}$ büyüme kontrolünü sağlayan bir $m < π$ sayısı varsa, ve
Negatif olmayan her $n$ sayısı için $f (n) = 0$ olursa,

o zaman, $f$ fonksiyonu sıfıra özdeştir; yani, sıfır fonksiyonudur.

Varsayımların zayıflatılması

Teoremde tam fonksiyonun büyüme davranışına yönelik üç ana şart vardır. Bunlardan ilki, fonksiyonun üstel tipli olması, ikincisi fonksiyonun sanal eksen üzerindeki tipinin $\pi$ den küçük olması, üçüncüsü ise negatif olmayan tamsayılarda sıfır değeri almasıdır.

İlk varsayımın yerine $Re z \geq 0$ üzerinde sürekli, $Re z > 0$ üzerinde analitik ve bir $C$ ve bir $τ$ gerçel sayısı için

$|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \operatorname {Re} z>0$

büyüme koşulu sağlanması alınabilir.

$f (z) = sin(π z)$ örneğinden görüleceği üzere, sanal eksen üzerindeki tipinin $\pi$ den küçük olması gereklidir.
Üçüncü varsayım daha teknik bir varsayımla zayıflatılabilir. Eğer, fonksiyon, üst yoğunluğu 1 olan bir kümede sıfır değeri alıyorsa, o zaman yine aynı sonuç tekrar geçerlidir.^[3] Diğer deyişle, fonksiyon üst yoğunluğu 1 olan $A \subset {0, 1, 2, ...$ } kümesinde sıfır değeri alıyor; yani, $x\in A$ için $f(x)=0$ ve

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|A\cap \{0,1,\ldots ,n-1\}\right|}{n}}=1$

ise, Carlsson teoreminin sonucu yine geçerlidir.

A

kümesinin üst yoğunluğu 1 den az ise teoremin sonucu geçerli değildir; daha doğrusu, bu durumda karşıt örnekler bulunabilir.

Kaynakça

^ F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Tez, Uppsala, İsveç, 1914.
^ DeMar, R. (1963). "Vanishing Central Differences". Proc. Amer. Math. Soc. Cilt 14. ss. 64-67. doi:10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2.
^ Rubel, L. A. (1956), "Necessary and sufficient conditions for Carlson's theorem on entire functions", Trans. Amer. Math. Soc., 83 (2), ss. 417–429, doi:10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8, JSTOR 1992882, MR 0081944, PMC 528143 $2, PMID 16578453

[1] F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Tez, Uppsala, İsveç, 1914.

[2] DeMar, R. (1963). "Vanishing Central Differences". Proc. Amer. Math. Soc. Cilt 14. ss. 64-67. doi:10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2.

[3] Rubel, L. A. (1956), "Necessary and sufficient conditions for Carlson's theorem on entire functions", Trans. Amer. Math. Soc., 83 (2), ss. 417–429, doi:10.1090/s0002-9947-1956-0081944-8, JSTOR 1992882, MR 0081944, PMC 528143 $2, PMID 16578453

[1]

[2]

[3]