Casey teoremi

Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen Casey teoremi, adını İrlandalı matematikçi John Casey'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.

Teoremin formülasyonu

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

${\textstyle \,O}$, yarıçapı ${\textstyle \,R}$ olan bir çember olsun.${\textstyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}$ (sırasıyla) ${\textstyle \,O}$ içinde yer alan kesişmeyen ve $\,O$'ya teğet olan dört çember olsun. ${\textstyle \,t_{ij}}$, ${\textstyle \,O_{i},O_{j}}$$O_{i},O_{j}$ çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre: $\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}$.

Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.

İspat

Aşağıdaki kanıt Zacharias'a atfedilebilir. $\,O_{i}$ çemberinin yarıçapını $\,R_{i}$ ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da$\,K_{i}$ ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için$\,O,O_{i}$ gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,

$\,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.$

Bu uzunluğu, $\,K_{i},K_{j}$ türünden ifade etmeye çalışacağız . $\,O_{i}OO_{j}$ üçgende kosinüs yasasına göre,

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}$

$\,O,O_{i}$ çemberleri birbirine teğet olduğundan:

${\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}$

$\,C$, ${\textstyle \,O}$çemberinin üzerindeki bir nokta olsun. $\,K_{i}CK_{j}$ üçgeninde sinüs yasasına göre:

${\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}$

Bu nedenle,

$\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}$

ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

Ve son olarak, aradığımız uzunluk;

$t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}$

$\,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$ kirişler dörtgenine uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:

${\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}$

Diğer genellemeler

Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır:

Eğer $\,O_{i},O_{j}$, ikisi de $\,O$'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan), $\,t_{ij}$ dış ortak teğetin uzunluğudur.

Eğer $\,O_{i},O_{j}$, $\,O$'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan), $\,t_{ij}$ iç ortak teğetin uzunluğudur.

Casey teoreminin tersi de doğrudur. Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.

Uygulamalar

Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı Casey teoreminin tersini kullanır.

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Casey's theorem (MathWorld)
• Shailesh Shirali. "On a generalized Ptolemy Theorem". ss. 49-53. 
• "Crux Mathematicorum, volume 22, issue 2". 17 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. (yukarıdaki makaleyi içerir) 
• "Casey's Theorem". Cut-the-Knot. 20 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• "Casey's Theorem". Geogebra. 19 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. 

İlave okumalar

• Luis Gonzalez (2011). "Casey's Theorem and its Applications" (PDF). 5 Haziran 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
• Kin Y. Li (2012). "Casey's Theorem" (PDF). 21 Ekim 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. 
• Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). Casey's theorem in hyperbolic geometry. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
• Abrosimov, N.V., Aseev, V.V. Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018). https://doi.org/10.1134/S199508021801002X
• Y. Mikami (1919). "Casey's theorem in Japanese mathematics" (Japonca). 7 Ekim 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. 

Kaynakça

• Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396-423. JSTOR 20488927. 
• Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79-89. 
• Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). 
• Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).