Düzgün yakınsaklık

Matematiğin ana bir dalı olan analizde, düzgün yakınsaklık noktasal yakınsaklıktan daha güçlü olan önemli bir yakınsaklık kavramıdır. Bir fonksiyon dizisi $(f_{n})$'nin bir limit fonksiyonu olan $f$'ye düzgün yakınsaması herhangi bir $\epsilon >0$ için bir $N$ sayısının var olduğu ve $f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots$ fonksiyonlarının $f$ fonksiyonundan herhangi bir noktada sadece en fazla $\epsilon$ kadar uzak olduğu anlamına gelir. Burada önemli olan, $N$ sayısının fonksiyon dizisindeki fonksiyonların tanım kümesi $E$deki herhangi bir $x$ noktasından bağımsız olarak bulunabilmesidir. Diğer deyişle, keyfi verilen herhangi bir $\epsilon >0$ değeri için, $N$ sadece $\epsilon$'a bağlı $N=N(\epsilon )$ sayısıdır ve bu sayı herhangi bir $x$ noktasından bağımsız olarak bulunabilir. Bu hâlde, her $n\geq N$ için $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ ifadesi bütün $x\in E$ için sağlanır.

Düzgün yakınsaklığın aksine, noktasal yakınsaklıkta ise böyle bir N'nin bulunması garantisi yoktur. Noktasal yakınsaklıkta bulunan $N$ hem $\epsilon$'a bağlı hem de verilen nokta olan $x$'e bağlıdır; yâni, $N=N(\epsilon ,x)$ olmaktadır. Bu yüzden, $x$ noktası değiştikçe, $x$e bağlı olan $N=N(\epsilon ,x)$ sayısı da değişecektir ve $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ ifadesini bütün $x\in E$ için sağlayacak sadece bir tane $N$ bulunamayacaktır.

Düzgün yakınsama ile noktasal yakınsama arasındaki fark, kalkülüs tarihinin başlarında tam olarak anlaşılmamış ve hatalı akıl yürütme örneklerine yol açmıştır. İlk olarak Karl Weierstrass tarafından resmileştirilen kavram, dizideki fonksiyonların çeşitli özelliklerini limit fonksiyonuna taşımaya elvermesi nedeniyle önemlidir. Örneğin, $f_{n}$ dizisinin sürekliliği, Riemann anlamında integrallenebilirliği veya ilâve varsayımlarla türevlenebilirliği gibi özellikleri düzgün yakınsama altından limit fonksiyonuna aktarılır. Ancak, düzgün yakınsama varsayılmazsa, bu özelliklerin limit fonksiyonuna taşınması her zaman mümkün olmaz.

Tarihi

1821'de Augustin Louis Cauchy, sürekli fonksiyonların yakınsak toplamının her zaman sürekli olduğuna dair bir kanıt yayınladı. Ancak, Niels Henrik Abel 1826'da Fourier serileri bağlamında karşı örnekler bulduğunu iddia etti ve Cauchy'nin kanıtının yanlış olması gerektiğini savundu. O zamanlar, standart yakınsama kavramları bugün anlaşıldığı gibi mevcut değildi ve Cauchy yakınsamayı sonsuz küçük yöntemleri kullanarak ele almıştı. Modern matematiksel dille ifade edilirse, Cauchy'nin kanıtladığı şey, sürekli fonksiyonların düzgün yakınsak bir dizisinin sürekli bir limiti olduğudur. Sürekli fonksiyonların yalnızca noktasal yakınsak bir limitinin sürekli bir fonksiyona yakınsamaması, fonksiyon dizilerini ile uğraşırken farklı yakınsama türleri arasında ayrım yapmanın önemini göstermektedir.

Düzgün yakınsama terimi muhtemelen ilk olarak Christoph Gudermann tarafından 1838'de eliptik fonksiyonlar üzerine yazdığı bir makalede kullanılmıştır. Gudermann, ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$ serisinin "yakınsama modu"nun $\phi$ ve $\psi$ değişkenlerinden bağımsız olarak "düzgün bir şekilde yakınsama" olduğu ifadesini kullanmıştır. Bir serinin bu şekilde yakınsamasını "dikkat çekici bir gerçek" olduğunu düşünmesine rağmen, resmi bir tanım vermedi ve bu özelliği kanıtlarının hiçbirinde kullanmadı.

Daha sonra Gudermann'ın 1839-1840 yıllarında eliptik fonksiyonlar dersine katılan öğrencisi Karl Weierstrass, 1841 tarihli Zur Theorie der Potenzreihen adlı makalesinde kullandığı gleichmäßig konvergent(Almanca: düzgün yakınsak) terimini ortaya attı ve bu terimi 1894'te yayımladı. Benzer kavramlar bağımsız olarak Philipp Ludwig von Seidel ve George Gabriel Stokes tarafından da dile getirildi. GH Hardy, "Sir George Stokes ve düzgün yakınsama kavramı" adlı makalesinde üç tanımı karşılaştırdı ve şu yorumu yaptı: "Weierstrass'ın keşfi en erken olanıydı ve tek başına bunun analizin temel fikirlerinden biri olarak kapsamlı önemini tam olarak fark etti."

Weierstrass ve Bernhard Riemann'ın etkisi altında bu kavram ve ilişkili sorular, 19. yüzyılın sonlarında Hermann Hankel, Paul du Bois-Reymond, Ulisse Dini, Cesare Arzelà ve diğerleri tarafından yoğun bir şekilde incelenmiştir.

Tanım

Kavram metrik uzaylara ve daha genel olarak düzgün uzaylara eşlenen fonksiyonlara kolayca genelleştirilebilir. Gerçel değerli fonksiyonlar için düzgün yakınsama şöyle tanımlanabilir.

$E\subset \mathbb {R}$ bir küme, $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ise bu küme üzerinde tanımlı ve gerçel değerler alan bir fonksiyon dizisi ve $f:E\to \mathbb {R}$ ise bir fonksiyon olsun. Her $\epsilon >0$ için

$n\geq N$ ve $x\in E$ için $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \quad$

önermesini sağlayacak bir $N$ varsa, o zaman $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ fonksiyon dizisinin $E$ üzerinde $f$'ye düzgün yakınsadığı söylenir.

Bir $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dizisinin bir $f$ fonksiyonuna düzgün yakınsadığını ima eden ve standart hale gelen bir gösterim mevcut değildir. Farklı yazarlar tarafından aşağıdakiler de dahil olmak üzere çeşitli semboller kullanmıştır:

$f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {u-\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {u} }{\longrightarrow }}f.$

Burada, $u$ sembolü düzgün yakınsaklık kavramının İngilizce karşığı olan uniform convergence sözünden esinlenerek kullanılmaktadır. Böyle bir yakınsaklık konusu söz konusu olduğunda, olağan limit ya da yakınsaklık gösterimlerinden faydalanılır ve bu gösterimi düzgün yakınsaklığın anlaşılmasına yetecek bir söz öbeği takip eder.

$\mathbb {R}$ tam metrik uzay olduğu için, Cauchy ölçütü dügün yakınsaklık tanımına denk gelecek alternatif bir tanım vermektedir. $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ fonksiyon dizisinin $E$ üzerinde $f$'ye daha önce sunulan tanım bağlamında düzgün yakınsaması ancak ve ancak her $\epsilon >0$ için

$x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon$.

önermesini sağlayan $N$ varsa mümkündür.