Dizi

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden (bazen eleman veya terim de denir) oluşur. Sıralı ögelerin sayısına (sonsuz olabilir) dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da (2, 4, 6, ...) tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Örneğin, (K, İ, T, A, P), ilk harfi 'K' ve son harfi 'P' olan bir dizidir. Bu dizi, (P, A, T, İ, K) dizisinden farklıdır. Ayrıca (1, 1, 2, 3, 5, 8) dizisindeki 1 sayısı iki farklı konuma sahiptir. Böyle olması dizinin geçerliliğini değiştirmez. Dizi sonlu ya da sonsuz olabilir. Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, 4, …) sonsuz diziye örnek verilebilir. (1, 2, 3, 4) dizisi ise sonlu bir dizidir.

Örnekler ve gösterim

Bir dizi rastgele sıralanmış ögeler listesi olarak düşünülebilir. Dizinin özellikleri kullanılarak, fonksiyonlar, uzaylar ve diğer matematik yapıları ile çalışmak için diziler, matematik disiplinlerinde kullanılabilir. Özellikle diziler, diferansiyel denklemler ve analizde önemli olan seriler için temel teşkil eder.

Diziyi belirtmenin birkaç yöntemi vardır. Bunların bazıları özel dizi türleri için çok kullanışlıdır. Diziyi belirtmenin bir yöntemi de, ögeleri listelemektir. Örneğin; ilk dört tek sayı dizisi (1, 3, 5, 7) formundadır. Bu gösterim, sonsuz diziler için de kullanılabilir. Örneğin pozitif tek tam sayıların sonsuz dizisi, (1, 3, 5, 7, ...) formunda yazılabilir. Listeleme, sonsuz diziler için en kullanışlı yöntemdir. Burada bir örüntü kullanılır. Böylece ilk birkaç öge kolayca fark edilebilir. Diğer yöntemlerden örneklerden sonra bahsedilecektir.

Önemli örnekler

Kenar uzunlukları ardışık Fibonacci sayıları olan kareler

Birçok önemli tam sayı dizisi vardır. Asal sayılar, 1'den büyük fakat 1 ve kendilerinden başka bölenleri olmayan doğal sayılardır. Bunlar kendi sırasına göre dizilirse, (2,3,5,7,11,13,17,...) dizisi elde edilir. Asal sayılarla çalışmak, matematik ve özellikle sayılar teorisi için önemlidir.

Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki sayı ile toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. İlk iki öge ya 0 ile 1 ya da 1 ile 1'dir. Böylece (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...) dizisi elde edilir.

Dizilere diğer önemli örnekleri, rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar verilebilir. (.9,.99,.999,.9999,...) dizisi 1'e yaklaşır. Her reel sayı, rasyonel sayılar dizisinin limiti olarak yazılabilir. Örneğin, (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...) dizisinin limiti, π olarak yazılabilir. Daha genel bir ifade ile herhangi bir reel sayı ondalıklar dizisinin limiti olarak yazılabilir. π için, (0.9,0.99,...) dizisinde olduğu gibi herhangi bir ondalık örüntüsü yoktur.

İndisleme

Örüntünün kolayca gösterilemediği durumlarda veya pi sayısında olduğu gibi rakamlarında herhangi bir örüntü yoksa, diziler için başka gösterimler kullanılabilir. Bu bölümde doğal sayılar alt kümesinde bulunan diziler için kullanılan gösterimlerden bahsedilmiştir. Diğer sayılabilir indis kümelerinin genelleştirmeleri için aşağıdaki bölüme bakın.

Bir dizinin terimleri (veya ögeleri) genellikle tek bir değişkenle ifade edilir. Dizideki herhangi bir a_n ögesindeki n indisi, dizinin n. ögesidir.

{\begin{aligned}a_{1}&\leftrightarrow &{\text{  1. terim}}\\a_{2}&\leftrightarrow &{\text{  2. terim }}\\a_{3}&\leftrightarrow &{\text{  3. terim }}\\\vdots &&\vdots \\a_{n-1}&\leftrightarrow &{\text{  (n-1). terim}}\\a_{n}&\leftrightarrow &{\text{  n. terim}}\\a_{n+1}&\leftrightarrow &{\text{  (n+1). terim}}\\\vdots &&\vdots \end{aligned}}

İndisleme gösterimi, bir diziyi soyut olarak ifade etmek için kullanılır. Ayrıca (terimin konumunu belirten) n indisli terimlerden oluşan diziler için bu, doğal bir gösterimdir. Örneğin ilk on tam kare olan sayılar için dizi şöyle yazılabilir:

(a_{1},a_{2},...,a_{10}),\qquad a_{k}=k^{2}.

Bu, (1,4,9,...100) dizisini ifade eder. Bunun daha da basit gösterimi şöyledir:

(a_{k})_{k=1}^{10},\qquad a_{k}=k^{2}.

Burada {k=1} alt indisi ve 10 üst indisi, k = 1, 2, ..., 10 için bu dizinin terimlerinin a_k olduğunu ifade eder.

Diziler herhangi bir tam sayıdan başlayacak veya bitecek şekilde indislenebilir. Belirli bir k değerinden başlayarak tüm tam sayıları kapsayan diziyi ifade etmek için sonsuz sembolü (∞) üst indis olarak çok sık kullanılır. Tüm pozitif tam kareler şöyle ifade edilebilir:

(a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}.

Bunun gibi indisleme sayıları kümesinin anlaşılması için analizde alt indisler ve üst indisler sıkça kullanılır. Bir keyfi dizi için a_k basit yazımı kullanılabilir. Analizde k 1'den ∞'a kadar olan dizi ele alınarak k anlaşılabilir. Fakat dizi çoğunlukla sıfırdan başlayarak indislenir, şöyle ki:

(a_{k})_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},...).

Bazı durumlarda dizinin terimleri, örüntüsü kolayca anlaşılabilen bir tam sayılar dizisi ile ilgilidir. Bu durumda, ilk birkaç soyut terim listelenerek indis kümesinin geri kalan terimlerinin ne olduğu anlaşılabilir. Örneğin, tek sayılar aşağıdaki gösterimlerden herhangi biriyle ifade edilebilir.

$(1,9,25,...)$
$(a_{1},a_{3},a_{5},...),\qquad a_{k}=k^{2}$
$(a_{2k-1})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
$(a_{k})_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
$((2k-1)^{2})_{k=1}^{\infty }$

Diğer taraftan, eğer 3., 4 ve 5. gösterimlerdeki indisleme kümesinin doğal sayılar olduğu anlaşılabilirse alt indisler ve üst indisler gösterilmeyebilir.

Sonuçta diziler, bir küme alt indisle birlikte yazmayı en genel biçimde ifade edebilir, şöyle ki:

(a_{k})_{k\in \mathbf {N} }

İndisle ifade edilen değerler kümesine indis kümesi denir. Genellikle a_k ögelerinin dizilişi, indisleme kümesindeki terimlerin dizilişi ile belirtilir. N indis kümesi olursa, a_k+1 terimi, a_k teriminden sonra dizilir. Dolayısıyla (k+1) alt indisi, doğrudan k alt indisinden sonra gelir.

Tanım ve temel özellikler

Matematikte diziler çok farklı yöntemlerle (örn; tam dizi) gösterilebilir. Aşağıda sadece bazı gösterimlerden bahsedilmiştir.

Tanım

Bir dizi genellikle tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Reel analizde bir dizi, N (veya $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) doğal sayılarından R (veya $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) reel sayılarına kadar olan alt kümedeki bir fonksiyondur. Başka bir ifade ile dizi, f(n): N → R haritasıdır. Daha önce ifade edilen gösterimleri doğrulamak için, a_n = f(n) veya yalnızca a_n: N → R yazılabilir.

Karmaşık analizde dizi, N doğal sayılarından $\mathbf {C}$ (veya $ℂ$ veya $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) karmaşık sayılarına kadar olan bir harita olarak tanımlanır. Topolojide dizi, genellikle doğal sayılar alt kümesinden topolojik uzayına kadar olan fonksiyonları tanımlar.

Sonlu ve sonsuz

Bir dizinin uzunluğu, dizideki terimlerin sayısı ile belirlenir.

n sonlu uzunluklu bir dizi, n demetli olarak da adlandırılır. Hiçbir ögesi olmayan ( ) boş dizi de bir sonlu dizidir. Normalde sonsuz dizi kavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken; sonlu dizi, diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi, çift sonsuz dizi veya iki yönlü sonsuz dizi olarak adlandırılır. Örneğin; tüm tam sayılardan oluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…) çift tam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi, $(2n)_{n=-\infty }^{\infty }$ olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz dizi Z deki bir harita olarak tanımlanabilir.

Tek sonsuz dizi, R[N] doğal sayılarının yarıgrup halkasının; çift sonsuz dizi ise, R[Z] tam sayılarının Grup halkasının ögeleri olarak ifade edilebilir. Bu görüş, dizilerin Cauchy çarpımında kullanılır.

Artma ve azalma

Bir dizinin her bir terimi, bir önceki terimden büyük eşitse, buna monotonik artma denir. $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizisinde tüm n ∈ N oluyorsa, dizi şöyle yazılabilir: a_n ≤ a_n+1 . Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden büyükse (>), "dizi tam monotonik artıyor'" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçük eşit ise, "dizi monotonik azalıyor'" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçükse "dizi tam monotonik azalıyor'" denir. Eğer bir dizi ya artıyor ya da azalıyorsa, "dizi monotondur'" denir. Bu monotonik fonksiyonun genel kavramının özel durumudur.

Azalmıyor ve artmıyor kavramları sırasıyla tam artıyor ve tam azalıyor kavramları ile karışmaması için, bunlar yerine sırasıyla artıyor ve azalıyor kavramları sıkça kullanılır.

Sınırlar

Eğer (a_n) reel sayılar dizisi, belirli bir terimden sonraki tüm terimleri M reel sayısından daha küçük ise, "'üstten sınırlı dizi" denir. Bunun anlamı, s, tüm n büyüktür N ve bazı M ve N çiftleri için, a_n ≤ M olur. Burada M, üst sınır olarak adlandırılır. Benzer şekilde, tüm n büyüktür n için bazı reel sayılar m, a_n ≥ m olur. Buna "'alttan sınırlı dizi" denir. Burada m alt sınır olarak adlandırılır. Eğer dizi hem alttan sınırlı hem de üstten sınırlı ise diziye sınırlı denir.

Diğer dizi türleri

Verilen bir dizinin bazı terimlerinin silinmesi, geri kalan terimlerin konumlarını dağıtmayacak forma dönüştüren diziye altdizi denir. Örneğin (2, 4, 6, ...) çift tam sayılar dizisi, (1, 2, 3,4, ...) pozitif tam sayılar dizisinin bir altdizisidir. Diğer terimleri silindiğinde, geri kalanları konumları değişmiş, fakat öncelik sıraları değişmemiştir.

Bazı diğer dizi türlerini şu şekilde kolayca tanımlanabilir:

Bir tam sayı dizisi, terimleri tam sayı olan bir dizidir.
Bir polinom dizi, terimleri polinom olan bir dizidir.
Eğer n ve m aralarında asal ise, tüm n ve m çiftleri için a_nm = a_n a_m oluyorsa, pozitif tam sayı dizisine, çarpan olarak adlandırılır. Başka bir ifade ile tüm n için eğer a_n = na₁ oluyorsa, çarpan dizidir. Ayrıca çarpanlı Fibonacci dizisinin tekrarlı ilişkisi de bir dizidir, şöyle ki: a_n = a_n−1 a_n−2.

Limitler ve yakınsaklık

(a_n) yakınsak dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. n artarken dizinin limitinin sıfıra yaklaştığı görülebiliyor.

Dizinin en önemli özelliklerinden biri de yakınsaklıktır. En basit anlamda eğer bir dizinin limiti varsa, "dizi yakınsaktır" denir. Yani bir (tek sonlu dizinde n çok çok büyük olduğunda L limite yaklaşırsa, "dizinin limiti vardır" denir. Bir (a_n) soyut dizisinde n → ∞ (n sonsuza giderken) a_n, L ye yakınsar.

\lim _{n\to \infty }a_{n}=L.

Bunun tam ifadesi, eğer bir L limiti varsa dizi yakınsaktır. L yeterince büyük olursa, geri kalan a_n'ler L ye yakınsar.

Bir dizi eğer bazı limitlere yakınsıyorsa, dizi yakınsaktır, aksi takdirde ıraksaktır.

Bir $(x_{n})$ dizisi sonsuza yaklaşıyorsa, $x_{n}\to \infty$ veya $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ şeklinde yazılır.

Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır ve $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ şeklinde yazılır.

Yakınsaklığın tanımı

a_n ∈ R olursa ve $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizi formunda yazılabiliyorsa, bu diziyi N indis kümesi ile şöyle yazabiliriz: (a_n). Bu diziler gerçel analizde sıkça kullanılır.

Uygulamalar ve özellikler

Reel sayılardaki dizilerin yakınsaklığı ve tek taraflı limit önemli sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:

Reel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

Bir dizinin limiti eşsizdir.
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})(\lim _{n\to \infty }b_{n})$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}$ (Eğer $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ ise)
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
Tüm $n$ 'ler bazı $N$ 'lerden daha büyük ise ve $a_{n}\leq b_{n}$ oluyorsa, $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ olur
(Sıkıştırma teoremi) Tüm $n>N$ için $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ oluyorsa ve $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ ise, $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ olur.
Eğer bir dizi sınırlandırılmış ve monotonik ise dizi yakınsaktır.
Bir dizi yakınsak ise ancak ve ancak tüm alt dizileri de yakınsaktır.

Cauchy dizileri

Bir (x_n) Cauchy dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. x_n, n ye karşıdır. Dizi bir limit noktasına yakınsıyor. Reel sayılarda her Cauchy dizisi bazı limitlere yakınsar.

Cauchy dizisi, terimleri rastgele yakın olan bir dizidir. Cauchy dizisi kavramı, metrik uzayında, özellikle reel analizde ortaya çıkar.

Bir dizi yakınsıyorsa ancak ve ancak Cauchy dizisidir.

Seriler

Seri, bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Bir tek taraflı dizinin ilk N terimi toplamı, başka bir dizinin N. terimi olan forma seri denir. Burada (a_n) dizisinin N serisi, (S_N) dizisini oluşturur, şöyle ki:

{\begin{aligned}S_{1}&=&a_{1}&&&\\S_{2}&=&a_{1}&{}+a_{2}&&\\S_{3}&=&a_{1}&{}+a_{2}&{}+a_{3}&\\\vdots &&\vdots &&&\\S_{N}&=&a_{1}&{}+a_{2}&{}+a_{3}&{}+\cdots \\\vdots &&\vdots &&&\end{aligned}}

Serinin n. terimini şöyle yazabiliriz:

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}.

Yakınsaklık, seriye aktarmak (kısmi toplamlar dizisi) ve özellikler gibi kavramları kullanırken asıl bahsedilmek istenen dizilerin karakterleridir (son örnekteki (a_n) gibi). Sonsuz bir diziden elde edilen bir sonsuz serinin eğer limiti varsa, şöyle ifade edilir:

\lim _{N\to \infty }S_{N}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.