Droz-Farny doğru teoremi

Öklid geometrisinde, Droz-Farny doğru teoremi, keyfi bir üçgenin yükseklik merkezinden (ortosantr) geçen iki dik doğrunun bir özelliğidir.

$T$ , köşeleri $A$ , $B$ ve $C$ olan bir üçgen ve $H$ , yükseklik merkezi (üç yüksekliğin kesiştiği ortak nokta) olsun. $L_{1}$ ve $L_{2}$ , $H$ üzerinden geçen birbirine dik herhangi iki doğru olsun. $A_{1}$ , $B_{1}$ ve $C_{1}$ sırasıyla $L_{1}$ 'in $BC$ , $CA$ ve $AB$ kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Benzer şekilde, $A_{2}$ , $B_{2}$ ve $C_{2}$ de $L_{2}$ 'nin bu kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Droz-Farny doğru teoremi, üç doğru parçası $A_{1}A_{2}$ , $B_{1}B_{2}$ ve $C_{1}C_{2}$ 'nin orta noktalarının eşdoğrusal olduğunu ifade eder.^[1]^[2]^[3]

Teorem, Arnold Droz-Farny tarafından 1899'da^[1] dile getirilmiştir ancak bir kanıtı olup olmadığı net değildir.^[4]

Goormaghtigh'in genellemesi

Droz-Farny doğru teoreminin bir genellemesi 1930'da René Goormaghtigh tarafından kanıtlandı.^[5]

Yukarıdaki gibi $T$ , köşeleri $A$ , $B$ ve $C$ olan bir üçgen olsun. $P$ , $A$ , $B$ ve $C$ 'den farklı herhangi bir nokta olsun ve $L$ , $P$ üzerinden geçen herhangi bir doğru olsun. $A_{1}$ , $B_{1}$ ve $C_{1}$ sırasıyla $BC$ , $CA$ ve $AB$ kenar doğruları üzerindeki, $PA_{1}$ , $PB_{1}$ ve $PC_{1}$ $L$ doğrusuna göre simetrik (yansıtma yoluyla) sırasıyla $PA$ , $PB$ ve $PC$ doğrularının görüntüleri olacak şekilde noktalar olsun. Daha sonra Goormaghtigh teoremi $A_{1}$ , $B_{1}$ ve $C_{1}$ noktalarının eşdoğrusal olduğunu söyler.

Droz-Farny doğru teoremi, $P$ , $T$ üçgeninin yükseklik merkezi olduğunda bu sonucun özel bir durumudur.

Dao'nun genellemesi

Teorem, Dao Thanh Oai tarafından daha da genelleştirildi. Genelleme aşağıdaki gibidir:

İlk genelleme: $ABC$ bir üçgen olsun, $P$ düzlemdeki bir nokta olsun, üç paralel doğru parçası $AA',BB',CC'$ olsun, böylece orta noktalar ve $P$ eşdoğrusal olsun. Daha sonra $PA',PB',PC'$ sırasıyla üç eşdoğrusal noktada $BC,CA,AB$ ile kesişir.^[6]

Dao'nun ikinci genellemesi

İkinci genelleme: Düzlemde bir konik $S$ ve bir $P$ noktası olsun. Konik ile sırasıyla $A,A'$ ; $B,B'$ ; $C,C'$ noktasında kesişecek şekilde, $P$ 'den geçen üç $d_{a},d_{b},d_{c}$ doğrusu oluşturun. $D$ , ( $S$ )'ye göre $P$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bir nokta olsun veya $D$ konik ( $S$ ) üzerinde yer alır. $DA'\cap BC=A_{0}$ ; $DB'\cap AC=B_{0}$ ; $DC'\cap AB=C_{0}$ olsun. O zaman $A_{0},B_{0},C_{0}$ eşdoğrusaldır.^[7]^[8]^[9]

Kaynakça

^ ^a ^b A. Droz-Farny (1899), "Question 14111", The Educational Times, 71, ss. 89-90
^ Ayme, Jean-Louis (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem", Forum Geometricorum, 14, ss. 219-224, ISSN 1534-1178, 16 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi
^ Floor van Lamoen; Eric W. Weisstein, "Droz-Farny Theorem", MathWorld, 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Droz-Farny doğru teoremi", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
^ René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg"", Mathesis, cilt 44, s. 25
^ Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem", Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, cilt 3, ss. 125-129, ISSN 2284-5569, 6 Ekim 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi
^ Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 6 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., ISSN 2284-5569
^ Smith, Geoff (2015). "99.20 A projective Simson line". The Mathematical Gazette (99): 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47. 6 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
^ Dao, O.T (29 Temmuz 2013). "Two Pascals merge into one". Cut-the-Knot. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.

Konuyla ilgili yayınlar

Ayme, Jean-Louis (2004), A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem (PDF), 4, Forum Geometricorum, ss. 219-224, 31 Aralık 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 23 Ekim 2020 veya Alternatif Bağlantı (PDF), 15 Şubat 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 23 Ekim 2020
Thas, Charles (2006), A Note on the Droz-Farny Theorem, 6, Forum Geometricorum [electronic only]
Struve, R; Struve, H. (2016), "An axiomatic analysis of the Droz-Farny Line Theorem", Aequat. Math., 90, ss. 1201-1218, doi:10.1007/s00010-016-0430-2

Dış bağlantılar

"Droz-Farny Line Theorem" (Java Applet). cut-the-knot. 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
"A generalization of Droz-Farny line theorem". geogebra. 28 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
"Goormaghtigh's generalization of the Droz-Farny Line". geogebra. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.
"Droz-Farny line on a sphere". geogebra. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.

[droz1899-1] A. Droz-Farny (1899), "Question 14111", The Educational Times, 71, ss. 89-90

[ayme2004-2] Ayme, Jean-Louis (2004), "A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem", Forum Geometricorum, 14, ss. 219-224, ISSN 1534-1178, 16 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi

[wolfram-3] Floor van Lamoen; Eric W. Weisstein, "Droz-Farny Theorem", MathWorld, 27 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi

[hismat-4] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Droz-Farny doğru teoremi", MacTutor Matematik Tarihi arşivi

[goorm1930-5] René Goormaghtigh (1930), "Sur une généralisation du théoreme de Noyer, Droz-Farny et Neuberg"", Mathesis, cilt 44, s. 25

[hoang2014-6] Son Tran Hoang (2014), "A synthetic proof of Dao's generalization of Goormaghtigh's theorem", Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, cilt 3, ss. 125-129, ISSN 2284-5569, 6 Ekim 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi

[G.Ng.Nguyen2015-7] Nguyen Ngoc Giang, A proof of Dao theorem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol.4, (2015), Issue 2, page 102-105 6 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., ISSN 2284-5569

[GeoffSmith2015-8] Smith, Geoff (2015). "99.20 A projective Simson line". The Mathematical Gazette (99): 339-341. doi:10.1017/mag.2015.47. 6 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.

[O.T.Dao_cutheknot2013-9] Dao, O.T (29 Temmuz 2013). "Two Pascals merge into one". Cut-the-Knot. 26 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]