Evrensel cebir

Evrensel cebir, matematiğin bir dalı olup bütün cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim $A$ ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir $\Sigma =\{+,*\}$.

$+::A\times A\rightarrow A$

$*::A\times A\rightarrow A$

$0::\rightarrow A$

$1::\rightarrow A$

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

$0+x=x$

$x+y=y+x$

$(x+y)+z=x+(y+z)$

$x*1=x$

$x*y=y*x$

$(x*y)*z=x*(y*z)$

Yukardaki imza $\Sigma$ bir cebir doğasal sayılardır $N(\mathbb {N} ,+^{N},*^{N},0^{N},1^{N})$. Burada $+^{N}$ bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki $E$ adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")$N\models E$. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.$B=(\{a,b\},+^{B},*^{B},0^{B},1^{B})$

$0^{B}\mapsto a$

$1^{B}\mapsto b$

$a+^{B}a\mapsto a$

$a+^{B}b\mapsto b$

$b+^{B}a\mapsto b$

$b+^{B}b\mapsto b$

$a*^{B}a\mapsto a$

$a*^{B}b\mapsto a$

$b*^{B}a\mapsto a$

$b*^{B}b\mapsto b$

Bunun bir model olduğunu (yani $B\models E$ ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

• Bir eşitlikler birimini $E$ nin modeli var mıdır?
• E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
• E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela $x=1*x$ eşitliği, yukardaki $E$nin bir neticesidir. $E\models x=1*x$ yazarak bunu ifade ederiz.

$\{s=t|E\models s=t\}$ birimine "E'nin teorisi" denilir.

Kaynakça

• Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

Dış bağlantılar

• A Course in Universal Algebra23 Ocak 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar tarafından hazırlanan açık bir evrensel cebir ders kitabıdır.