Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir:
∫
−
∞
∞
a
e
−
(
x
+
b
)
2
/
c
2
d
x
=
a
|
c
|
π
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=a|c|{\sqrt {\pi }}.}
Bunun başka bir biçimi de şöyledir:
∫
−
∞
∞
k
e
−
f
x
2
+
g
x
+
h
d
x
=
∫
−
∞
∞
k
e
−
f
(
x
−
g
/
(
2
f
)
)
2
+
g
2
/
(
4
f
)
+
h
d
x
=
k
π
f
exp
(
g
2
4
f
+
h
)
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f(x-g/(2f))^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),}
İntegralin yakınsaklaştırılması için burada f kesinlikle pozitif olmalıdır.
Gauss integrali;
∫
−
∞
∞
a
e
−
(
x
+
b
)
2
/
c
2
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx}
a, b, c > 0 olan bazı reel sabitler, Gauss integralinde yerlerinde konularak hesaplanabilir. Öncelikle a sabiti, integral dışına çıkartılır. Ardından, x to y = x + b biçiminde değişken değiştirme yapılırsa integral şöyle olur:
a
∫
−
∞
∞
e
−
y
2
/
c
2
d
y
,
{\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/c^{2}}\,dy,}
Burada
z
=
y
/
|
c
|
{\displaystyle z=y/|c|}
a
|
c
|
∫
−
∞
∞
e
−
z
2
d
z
.
{\displaystyle a|c|\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.}
Burada aşağıdaki Gaussian integral yoğunluğu kullanılır:
∫
−
∞
∞
e
−
z
2
d
z
=
π
,
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},}
Sonuçta aşağıdaki integral elde edilir:
∫
−
∞
∞
a
e
−
(
x
+
b
)
2
/
c
2
d
x
=
a
|
c
|
π
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=a|c|{\sqrt {\pi }}.}
