Hadwiger–Finsler eşitsizliği

Matematikte Hadwiger–Finsler eşitsizliği, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ve alanı $T$ ile gösterilirse, o zaman

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(HF)}}.$

İlgili eşitsizlikler

• Weitzenböck eşitsizliği, Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur: düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları $a$, $b$ ve $c$ ve alanı $T$ ile gösterilirse, o zaman

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.$

Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani $a=b=c$ için geçerli olduğu görülür.

• Dörtgen için bir versiyon: $ABCD$, uzunlukları $a$, $b$, $c$, $d$ ve alanı $T$ ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}$ sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.

Burada; $\sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}$

İspat

Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$\alpha$, $b$ ve $c$ arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

$a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha ).$

$A={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$ olduğundan;

$a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}$'dir.

$1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$

ve

$\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}$

olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

$a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}.$

Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A\left(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\right).$

$\beta$ ve $\gamma$ üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı ${\frac {\pi }{2}}$'den küçük olduğundan, $\tan$ fonksiyonu dışbükeydir:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}.$

Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A{\sqrt {3}}.$

Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

Tarihçe

Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger yaptıkları çalışma (Paul Finsler & Hugo Hadwiger 1937) sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

Eşitsizliğin genelleştirilmesi

1. Eğer $a$, $b$, $c$ ve $d$ bir dörtgenin dört kenarıysa ve $S$ alanı ise, o zaman

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S$'dir.

Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer $L_{1}$, $L_{2}$, ……, $L_{n}$ n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve $S$ alanı ise, o zaman

$L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+$……$L_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)$'dir.

Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

Ayrıca bakınız

• Üçgen eşitsizliklerin listesi
• Eşçevre eşitsizliği

Kaynakça

• Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici. 10 (1): 316-326. doi:10.1007/BF01214300. 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, 9780883853429, pp. 84-86 21 Temmuz 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

• PlanetMath'te Proof of Hadwiger-Finsler inequality
• PlanetMath'te Weizenbock's inequality

Konuyla ilgili yayınlar

• Cezar Lupu (27 Ocak 2010), Algebraic-Geometric Proofs of the Weitzenbock and Finsler-Hadwiger Inequalities Revisited (PDF) 
• D. Ş. Marinescu; M. Monea; M. Opincariu; M. Stroe (2012), "Note on Hadwinger–Finsler's Inequalites" (PDF), Journal of Mathematical Inequalities, 6 (1), ss. 57-64, 9 Ağustos 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 6 Aralık 2020 
• Kouba, Omran (2017), "On certain new refinements of Finsler-Hadwiger inequalities", Journal of Inequalities and Applications, doi:10.1186/s13660-017-1356-5