Halka

Halka, matematikte cebirin temel yapılarından biridir ve soyut cebirde tam sayıların soyutlamasıdır. Bu yapıyı işleyen dala halka kuramı denir. Halkalar diğer bir temel yapı olan grupların üzerine inşa edilir. Her halka, aynı zamanda değişmeli bir gruptur, ama bir halkadan daha fazla özelliği sağlaması istenir. Örneğin halkada grup işlemine ek olarak ikinci bir işlem daha vardır. Halkalara örnek olarak tam sayılar, modülo n sayılar, polinomlar ya da karmaşık sayılar verilebilir.

Julius Wilhelm Richard Dedekind, sayılar teorisi, soyut cebir konularına önemli katkılarda bulunan bir Alman matematikçiydi. En iyi bilinen katkısı, Dedekind kesimi kavramı aracılığıyla reel sayıların tanımıdır.

Halka her şeyden önce bir kümedir ve belli özellikleri sağlar. Bu özellikler aşağıda verilmiştir.

Tanım

$R$ boştan farklı bir küme olsun. Bu küme üzerinde $+$ ve $*$ ikili işlemleri tanımlı olsun. Eğer;

• $(R,+)$ kümesi değişmeli bir grup,
• $(R,*)$ kümesi bir yarı grup ve
• $*$ işlemi $+$ işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılmalı

ise $(R,+,*)$ kümesine halka denir. Bunların yanında eğer,

• $(R,*)$ kümesi bir birlik ise $(R,+,*)$ kümesine birimli halka; ayrıca,
• $(R,*)$ kümesi değişmeli ise $(R,+,*)$ kümesine değişmeli halka denir.

Bir halkanın birinci işlemi olan (genellikle toplama) $+$ işleminin birim öğesine sıfır denir ve $0$ ile gösterilmesi gelenektir. Halkanın ikinci işlemi olan (genellikle çarpma) $*$ işleminin birim öğesi varsa bu birim öğeye bir denir ve geleneksel olarak $1$ ile gösterilir.

Ayrıca bir halkada genellikle $0=1$ olmadığı da bir belit olarak eklenir. Nitekim $0=1$ olması bir çelişki yaratmaz ancak, $0=1$ olduğunda R halkası tek öğeli bir küme olur. Bunu aşağıdaki gibi basitçe her sayının sıfıra eşit olduğunu göstererek kanıtlayabiliriz:

$a=a*1=a*0=0$

Halkanın tam tanımı için bir uzlaşma görülmüyor. Bazı matematikçiler (örneğin Ali Nesin) bir halkanın hem birimli hem bileşmeli hem de değişmeli olduğunu varsayar. Eğer birim öğesiz veya değişme özelliği olmayan bir halkadan bahsedilecekse birimsiz halka ya da değişmesiz halka denmiş olur. Bourbaki ya da Herstein gibi matematikçiler de birim öğesi olmayan halkalara yalancı halka demeyi tercih eder. Bu sayfada bahsedilen halkalar hem değişmeli hem bileşmeli hem de birim öğeli alınacaktır.

Örnekler

1. $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ tam sayılar toplamaya göre değişmeli bir gruptur, birim elemanı $0$'dır. Aynı zamanda tam sayılar üzerinde çarpma işlemi vardır, bu işlemin birim elemanı $1$'dir, çarpma değişmelidir, birleşmelidir ve toplama üzerine dağılır. Yani tam sayılar, birimli ve değişmeli bir halkadır.
2. $(\mathbb {k} ,+,\cdot )$bir $\mathbb {k}$ cismi için bir halka örneğidir. Halkalardan beklenen özelliklere ek olarak, çarpma işlemi değişmeli ise ve sıfır dışında her elemanın çarpmaya göre tersi varsa, bu özellikleri sağlayan halkalara cisim denir. Yani rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar birer halkadır.
3. Bir $\mathbb {k}$cismi için katsayısını bu cisimden alan polinomlar $(\mathbb {k} [x],+,\cdot )$, polinom toplaması ve çarpması ile birlikte birimli ve değişmeli bir halkadır.
4. $(M_{n\times n}(R),+,\cdot )$ girdileri herhangi bir $R$ halkasından olan $n\times n$boyutundaki matrisler, matris toplaması ve çarpması ile birimli ama ($n\neq 1$ için) değişmesiz bir halkadır.

Çeşitleri

Halka çeşitleri şunlardır:

• Bölüm halkası
• Değişmeli halka
• Yalancı halka
• Yarı halka

Kaynakça

• Matematik Dünyası Dergisi, sayı 2004-I (bahar) sayfa 11-41 ve sayı 2004-II (yaz) sayfa 9-50.
• Thomas W. Hungerford, Algebra, springer-Verlag, 1974.
• T.O. Hawkes Hartley, Rings, modules and linear algebra, Chapman and Hall, 1994.
• Abdullah Harmancı, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 1987.

Ayrıca bakınız

• Cisim
• Grup