Harnack eşitsizliği

Matematikte Harnack eşitsizliği pozitif harmonik fonksiyonların iki ayrı noktada aldığı değerle ilgili bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Harnack teoremi olarak bilinen ve harmonik fonksiyonların yakınsaklığıyla ilgili bir sonucu ifade eden teoremin ispatında kullanılmaktadır. Eşitsizlik Carl Gustav Axel Harnack'ın adını taşımaktadır.

James Serrin ve Jürgen Moser, Harnack eşitsizliğini eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri için genelleştirdiler. Bu tür denklemlerin zayıf çözümlerinin iç düzenliliğini göstermede bu genelleştirilmiş eşitsizlikler kullanılmaktadır.

Poincare sanıtının Perelman tarafından verilen çözümünde Richard Hamilton tarafından Ricci akışı için ispatlanmış olan Harnack eşitsizliği kullanılmıştır.

Eşitsizliğin ifadesi

Öklid uzayı $R^{n}$'deki $R$ yarıçaplı ve $x_{0}$ merkezli kapalı bir yuvarın üzerinde negatif olmayan ve sürekli olan f fonksiyonu bu yuvarın içinde harmonik ise $|x-x_{0}|=r<R$ koşulunu sağlayan her $x$ noktası için

${\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0})$

eşitsizliği sağlanır. $n=2$ alındığında, yani R² düzlemindeki açık diskler üzerinde eşitsizlik

${R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0})$

hâlini alır.

$\mathbf {R} ^{n}$'deki genel $\Omega$ bölgeleri için eşitsizlik şöyle ifade edilebilir: $\omega$ sınırlı bir bölge ve ${\bar {\omega }}\subset \Omega$ olsun. İki kere türevlenebilir ve harmonik olan bir $u(x)$ fonksiyonu negatif değerler almıyorsa, o zaman

$\sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)$

eşitsizliğini sağlayan, $u$'dan bağımsız ve sadece $\Omega$ ve $\omega$ bölgelerine bağımlı olan bir $C$ sabiti vardır.

Yuvar üzerinde Harnack eşitsizliği

Rⁿ'deki birim kürenin alanı ω_{n − 1} ve r = |x − x₀| olmak üzere, Poisson formülü kullanılarak

$f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy$

yazılabilir.

$R-r\leq |x-y|\leq R+r,$ olduğundan, tümlevlenen çekirdek fonksiyon şu eşitsizliği sağlar:

${\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.$

O zaman bu eşitsizlik ve harmonik fonksiyonlar için

$f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy$

olduğunu ifade eden ortalama değer teoremi kullanılarak Harnack eşitsizliği elde edilir.

Eliptik kısmi diferansiyel denklemler

Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için Harnack eşitsizliği, bağlantılı ve bir açık bölgedeki pozitif bir çözümün en küçük üst sınırının (supremum), en büyük alt sınır (infimum) ve muhtemelen denklemdeki verilerin fonksiyonel normunu içeren ek bir terimin toplamının bir sabit ile çarpımıyla sınırlandırıldığını belirtir:

$\sup u\leq C(\inf u+\|f\|)$

Buradaki sabit, denklemin eliptikliğine ve bağlantılı açık bölgeye bağlıdır.

Parabolik kısmi diferansiyel denklemler

Harnack eşitsizliğinin doğrusal parabolik kısmi diferansiyel denklemler için bir hâli de vardır. ${\mathcal {M}}$, $\mathbb {R} ^{n}$'de pürüzsüz ve sınırlı bir bölge olsun. Pürüzsüz ve sınırlı katsayılara ve kesin pozitif $(a_{ij})$ matrisine sahip

${\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u$

doğrusal eliptik operatörü ele alınsın. Diyelim ki $u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})$ fonksiyonu

$\quad (0,T)\times {\mathcal {M}}{\text{ içinde }}u(t,x)\geq 0$

olmak üzere

$(0,T)\times {\mathcal {M}}$ içinde ${\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0$

denkleminin çözümü olsun.

$K$ ise tıkız olarak ${\mathcal {M}}$nin içinde yer alsın ve $\tau \in (0,T)$ olsun. O zaman, her $t\in (\tau ,T)$ için

$\sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).$

eşitsizliğini sağlayan ve sadece K, $\tau$, $t-\tau$ ve ${\mathcal {L}}$'nin katsayılarına bağımlı bir C > 0 sabiti vardır.

Ayrıca bakınız

• Harnack teoremi

Ek kaynaklar

• Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Fully Nonlinear Elliptic Equations, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ss. 31-41, ISBN 0-8218-0437-5 
• Folland, Gerald B. (1995), Introduction to partial differential equations (2. bas.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2 
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, ISBN 3-540-41160-7 
• John, Fritz (1982), Partial differential equations, Applied Mathematical Sciences, 1 (4. bas.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 
• "Harnack inequality", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu, 2001