Harshad sayı

Eğlence matematiğinde Harshad sayı (veya Niven sayı) rakamları toplamına tam bölünebilen tam sayılara denir. Harshad özelliğini sağlayan sayma tabanına n dersek sayılar n-Harshad veya n-Niven olarak da söylenirler. Hindistanlı matematikçi D. R. Kaprekar tarafından tanımlanmışlardır. "Harshad" kelimesi Sanskritçe harṣa (eğlence) + + da (vermek), kelimelerinin bileşiminden "eğlenceli" anlamındadır. Niven sayı tabiri ise Ivan M. Niven tarafından 1977'de sayma teorisi ile ilgili yayınlanmış olan makaleye dayandırılmıştır.

Tanım

Matematiksel anlamda, X sayısı n tabanında m haneli bir sayı olsun. Sayının rakamları a_i (i = 0, 1, ..., m − 1). (a_i değerleri olan rakamlar 0'la n arasında değerler alıyor olsunlar − 1.) Bu durumda X

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

şeklinde ifade edilebilir. Bu şartlarda aşağıdaki denklemi sağlayan bir A sayısı varsa, n tabanında X bir Harshad sayıdır.

X=A\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}.

Tüm sayma tabanlarında Harshad sayı olan sayılara hep-Harshad sayı denir. Sadece 4 adet hep-Harshad sayı vardır. 1, 2, 3, 4 ve 6. 12 sayısı 8'li sayma sistemi dışında Harshad sayıdır.

Örnekler

18 sayısı 10 tabanında (sayma sisteminde) Harshad sayıdır. Çünkü rakamları olan 1 ve 8'in toplamı 9'dur ( $1 + 8 = 9$ ) ve 18 sayısı 9'a tam bölünür. ( $18 / 9=2$ ve 2 bir tam sayıdır)
1729 sayısı 10'luk sayma sisteminde bir Harshad sayıdır çünkü rakamları toplamı olan 19'a tam bölünür ( $19 * 91 = 1729$ )
19 sayısı 10'luk sayma sisteminde bir Harshad sayı değildir, çünkü rakamları toplamı 10'dur ( $1 + 9 = 10$ ) ve ( $19 / 10 = 1,9$ ve 1,9 tam sayı olmadığından) 19; 10'a tam bölünmez.
10'luk sayma sisteminde Harshad sayıları dizisi şöyledir:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (OEIS'de A005349 dizisi)

Özellikleri

Bölünebilme kuralı düşünüldüğünde 9'a bölünebilen tüm sayıların Harshad sayılar olduğu düşünülebilir ama bu önerme yanlıştır. Harshad sayı hesaplamasında sadece bir defa toplama işlemi uygulanarak çıkan rakamlar toplamı ile sayı karşılaştırılır. Örneğin 99 sayısı için $9 + 9 = 18$ eder ve 99; 18'e tam bölünemediğinden Harshad sayı değildir.

Sayma sistemi veya sayma tabanı her zaman Harshad sayıdır, çünkü gösterim gereği "10" ve $1 + 0 = 1$ .

Bir asal sayının Harshad sayı olabilmesi için sayma sistemi veya sayma tabanından küçük olması gereklidir. Eğer sayma tabanından büyükse, kendisi ve 1 dışında (rakamları toplamı olan sayı)'ya da bölüneceğinden asal sayı olması mümkün değildir. Örneğin 11 bir Harshad sayı değildir, "11" $1 + 1=2$ ettiğinden 2'ye tam olarak bölünmez.

Faktöriyel dizisi 10'luk sayma sisteminde Harshad sayılarla aynı başlasa da, bütün faktöriyeller Harshad sayı değillerdir. Harshad sayı olmayan ilk faktöriyel 432!'dir.

Ardışık Harshad sayılar

Maksimum ardışık Harshad sayı dizisi

Cooper ve Kennedy 1993 tarihinde 10'luk sayma sisteminde hiçbir 21 sayılık dizinin tamamının Harshad sayılardan olamayacağını göstermişlerdir.^[1]^[2] Ayrıca sonsuz sayıda 20'lik grup oluşturmuşlar ve 10 tanesi de Harshad sayı olan dizileri incelemişlerdir, 10'dan büyük en küçük sayı ^44363342786dır.

H. G. Grundman (1994) Cooper ve Kennedy'nin sonuçlarını genelleştirerek b-Harshad sayılar için 2b sayıda Harshad sayısı olup 2b+1 sayıda olmadığını göstermişlerdir.^[2]^[3] Bu sonuç b = 2 veya 3 olduğunda sonsuz sayıda 2b ardışık b-Harshad sayı olduğu gösterimini kuvvetlendirmiştir.^[4]

İkilik sayma sisteminde sonsuz sayıda 6'lık sayı grubunda 4'lü Harshad sayı olduğu gösterilmiştir.

Kaynakça

^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E. (1993), "On consecutive Niven numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, 31 (2), ss. 146-151, ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Ocak 2015
^ ^a ^b Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. s. 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
^ Grundman, H. G. (1994), "Sequences of consecutive n-Niven numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, 32 (2), ss. 174-175, ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Ocak 2015
^ Wilson, Brad (1997), "Construction of 2n consecutive n-Niven numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, cilt 35, ss. 122-128, ISSN 0015-0517, 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Ocak 2015

Dış bağlantılar

[1] Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E. (1993), "On consecutive Niven numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, 31 (2), ss. 146-151, ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Ocak 2015

[HBII382-2] Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. s. 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

[3] Grundman, H. G. (1994), "Sequences of consecutive n-Niven numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, 32 (2), ss. 174-175, ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Ocak 2015

[4] Wilson, Brad (1997), "Construction of 2n consecutive n-Niven numbers" (PDF), Fibonacci Quarterly, cilt 35, ss. 122-128, ISSN 0015-0517, 24 Eylül 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Ocak 2015

[1]

[2]

[3]

[4]