Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi (en genel durumda tıkız Riemann yüzeyini ) kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatau kümesinde normal davranış sergiler.

İkinci derece polinomların Julia kümeleri için bir animasyon

fonksiyonunun Julia kümesi genellikle ile, Fatau kümesi ile ve doldurulmuş Julia kümesi ile gösterilir. Bu kümeler, 20`nci yüzyılın başlarında Fransız matematikçiler Gaston Julia[1] ve Pierre Fatou[2] tarafından bulunmuşlardır. 20`nci yüzyılın sonlarında bilgisayar ve grafik biliminin keşfi ile, Julia kümelerinin kullanımları hızlanmıştır.

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Yani, bu polinomların Julia kümelerini tarif eden bir nevi kombinatorik atlasdır. Çok değişkenli polinomların veya rasyonel fonksiyonların parametre uzayları daha karmaşık yapıdadır.

 , bir tıkız Riemann yüzeyi olsun.   genellikle 2-boyutlu küre   olarak seçilir.   uzayı bir analitik çokkatlı olduğundan, üzerinde analitik yapı vardır.   sabit olmayan fonksiyonunun, bu analitik yapıya göre, çözümlenebilir olduğunu kabul edelim.   ile,   nin kendisiyle  kere birleşiminden oluşan fonksiyonu gösterelim.   kümesi,   ailesini normal aile yapan küme şeklinde tanımlanır.[3]   kümesi ise   şeklinde tanımlanır.

Bu soyut tanımın anlamı şudur: Bir   verildiğinde   olacak şekilde   komşuluğu vardır.   bir çokkatlı olduğundan,   ya sınırlandırılmış analitik yapı vardır.   komşuluğu   fonksiyonlarının tanım kümesinin bir altkümesi ise,   analitik ailesi elde edilir.   nin bir normal aile olması demek,   nin kapanışının tıkız olması demektir. Burada,   üzerinde iyi bilinen bir topoloji vardır. Mesela,   durumunda   Frechet uzayıdır.   nin kapanışı da tıkızlığı da bu topolojiye göredir.   kümesinin bir açık küme olması, her   için böyle bir   seçilebilmesindendir ve Fatou kümesinin tanımının direkt sonucudur.   nin kapalı olması   eşitliğinden bulunur.

  nin   de kaotik davranış göstermesi,   nin iterasyonlarının normal olmamasından dolayıdır. Bazı kaynaklar "kaotik davranışı" değişik şekilde tanımladıklarından, burada kullanıdığımız tanımı belirtmemiz gerekir: Kaotik davranış demek, başlangıç değerine duyarlı olmak demektir. Başka bir deyişle,   kaotiktir demek, birbirine çok yakın iki nokta   alındığında   ile   lerin birbirlerinden çok uzak olması demektir.

Örnekler

değiştir
  •   formülüyle verilen   polinomunu ele alalım. Yukarıda verilen soyut tanımı kullanarak,   nin Julia kümesinin  yarıçaplı çember olduğunu göstereceğiz. Bu çemberi   ile gösterelim.   in "dışı" dediğimiz bölge, çember ile sonsuz arasında kalan bölgedir. Dış kısımdan bir   noktası ve bu nokta civarında   ile kesişmeyen bir komşuluk alırsanız, bu komşuluğun   polinomu altındaki imajı   arttıkça sonsuza yaklaşır. Başka bir deyişle,   in dış kısmında   ailesi sabit   fonksiyonuna yakınsar, yani   de kapanışı tıkızdır. Benzer şekilde,   noktası çemberin iç bölgesinde ise,   ler 0 a yakınsar. Geri kalan kısım, yani çemberin kendisi, Julia kümesini verir.
  • Aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Öncelikle, bu resimlerin bazılarının renkli bazılarının ise siyah-beyaz olduğunu gözlemleyiniz. Kombinatorik harita resminin bir Julia kümesi olmadığını, fakat tavşan fonksiyonunun Julia kümesinin bu harita kullanılarak açıklanabileceğini hemen belirtelim.

Resimlerdeki her renk, sayısal olarak   ile ilgili bir nicelige denk gelir. Aynı renge sahip noktalar benzer özelliklere sahiptirler. Siyah-beyaz resimlerde, bu nicelikler belirtilmez ve siyah noktalarla Julia kümesinin noktaları beyaz renk ile de Fatou kümesinin noktaları işaretlenir. Renk kullanımına şöyle bir örnek verelim:   fonksiyonunu ele alalım. Çemberden seçilen neredeyse her noktanın,   altındaki yörüngesi çember içinde yoğundur. Çemberin dış kısmından, yani  , bir nokta seçersek, yörüngesi sonsuza kaçar. Sonsuza kaçma hızı, değişik renklerle ifade edilir. Mesela, eğer nokta ilk 10 iterasyon sonunda yarıçapı 50 olan çemberin dışında kalıyorsa açık mavi renk, kalmıyorsa koyu mavi renk kullanılabilir. Renklerin nasıl kullanılacağını belirten genel bir kural yoktur.

Yukarıda verilen resimlerde(her bir resim bir kümedir) çoğunlukla ikinci derece polinomlarının kullanılmasının nedeni hesaplarının ve teorilerinin kolay olmasındandır. Kaotik davranış, bilgisayar tarafından çizilen resimlerde büyük sapmalar olmasına neden olur.

Bilgisayar çizimleri her zaman hatalı olduklarından, konunun bilimsel yönden önemi,   nin   deki dinamiğine topolojik ve kombinatorik olarak eşdeğer(konjuge) olan bir başka dinamik sistem bulup onu izah etmekten geçer.

Julia setine örnekler

değiştir

Diğer Tanımlar

değiştir
  •   kümesi, en az üç nokta içeren ve   altında değişmez olan kapalı kümedir. Bu özellik,   yi biricik şekilde belirler.
  •   kümesi,   nin itici devirli noktalarının topolojik kapanışıdır.
  •   nin en fazla iki noktası dışındaki bütün   noktaları için,   şeklinde tanımlanabilir.
  •  , küre üzerinde analitik ise (mesela polinomlar),   kümesi,   altında sonsuza yakınsayan noktalar kümesinin topolojik sınıdır.
  • Polinomlar için,   kümesi   kümesinin topolojik sınırı şeklinde tanımlanabilir.

Temel Özellikler

değiştir
  •   ve   kümeleri   altında tam-değişmez kümelerdir. Yani,   ve   eşitlikleri doğrudur.
  •   için   dir.
  •   derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise,   boş olamaz. Fakat,   olması mümkündür. Berkovich uzayında bu önermenin tam tersi doğrudur. Yani,   boş olabilir. Berkovich uzayı için, yukarıda verilen Julia kümesi tanımı kullanılamaz, çünkü bu uzay bir Riemann yüzeyi değildir. Detaylı bilgi için, ilgili makaleye bakınız.
  • Keyfi   seçilsin.   nin  yörüngesi, yani   kümesi   de yoğundur.
  •   derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, Julia kümesinin topolojik içi ya boştur ya da Fatou kümesinin kendisi boştur. Berkovich uzayı durumunda, Fatou boş olamaz.

Mandelbrot Kümesi İle İlişkisi

değiştir

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Çok dereceli polinomlar ve rasyonel fonksiyonların parametre uzayları, Mandelbrot kümesinin çok boyutlu versiyonlarını verirler.   polinomunu düşünelim.   sayısı Mandelbrot kümesinin bir elemanı ise,   kümesi topolojik bağlantılıdır.   sayısı bir Misiurewicz noktası ise, Mandelbrot fraktalnın   sayısına denk gelen noktasının civarı,   fraktalına benzer.

Ölçü Teorisi İle İlişkisi

değiştir

 , küre üzerinde rasyonel olsun. Bu durumda, desteği   olan ve her   Borel kümesi için   koşulunu sağlayan biricik   ölçüsü vardır. Bu   ölçüsüne   nin Lyubich ölçüsü[4] denir. Bu   ölçüsü, güçlü harmanlama özelliğine sahiptir, yani her   için

 

eşitliği doğrudur.

Julia Kümelerinin Kullanım Alanları

değiştir
  • Anten teknolojisinde, fraktal şeklindeki antenleri modellemek için kullanılırlar.
  • Modern sanatta sıklıkla kullanılırlar.
  • Fraktal sıkıştırma algoritmaları sayesinde, dijital veri sıkıştırmak için kullanılabilirler.[5]
  • Bilgisayar oyunlarında, sanal arazi üretmek için kullanılırlar.

Kaynakça

değiştir
  1. ^ Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 8, pages 47–245.
  2. ^ Pierre Fatou (1917) "Sur les substitutions rationnelles," Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 164, pages 806-808 and vol. 165, pages 992–995.
  3. ^ John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable (Third Edition), Annals of Mathematics Studies 160, Princeton University Press 2006 (First appeared in 1990 as a Stony Brook IMS Preprint 24 Nisan 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., available as arXiV:math.DS/9201272 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..)
  4. ^ M. Yu. Lyubich (1981) "The maximum-entropy measure of a rational endomorphism of the Riemann sphere ," Funkts. Anal. Prilozh.,, vol. 16:4 (1982), pages 78–79.
  5. ^ [1] 21 Haziran 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Fractal compression