z
:
R
n
×
R
n
→
R
{\displaystyle z:{{\mathbb {R} }^{n}}\times {{\mathbb {R} }^{n}}\to \mathbb {R} }
z
=
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}
biçiminde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı sürekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki
Δ
x
m
{\displaystyle \Delta {{x}_{m}}}
Δ
z
Δ
x
m
=
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
+
Δ
x
m
,
.
.
.
,
x
n
)
−
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
,
.
.
.
,
x
n
)
Δ
x
m
{\displaystyle {\frac {\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}}={\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}}}
Δ
x
m
=
h
{\displaystyle \Delta {{x}_{m}}=h}
∂
z
∂
x
m
=
lim
h
→
0
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
+
h
,
.
.
.
,
x
n
)
−
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
,
.
.
.
,
x
n
)
h
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}}}
ifadesine
z
{\displaystyle z}
x
m
{\displaystyle {{x}_{m}}}
∂
f
∂
x
m
=
f
x
m
=
D
x
m
f
=
∂
z
∂
x
m
=
z
x
m
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {{x}_{m}}}}={{f}_{{x}_{m}}}={{D}_{{x}_{m}}}f={\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={{z}_{{x}_{m}}}}
şeklinde gösterilir.
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f\left(x,y\right)}
f
x
(
x
,
y
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
,
y
)
−
f
(
x
,
y
)
h
{\displaystyle {{f}_{x}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}
f
y
(
x
,
y
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
,
y
+
h
)
−
f
(
x
,
y
)
h
{\displaystyle {{f}_{y}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x,y+h\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}
Örnek:
f
(
x
,
y
)
=
x
3
+
x
2
y
−
y
3
f
x
=
(
x
3
)
x
+
(
x
2
y
)
x
−
(
y
3
)
x
f
x
=
3
x
2
+
2
x
y
−
0
f
x
=
3
x
2
+
2
x
y
{\displaystyle {\begin{aligned}&f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}{y}-{{y}^{3}}\\&{{f}_{x}}={{\left({{x}^{3}}\right)}_{x}}+{{\left({{x}^{2}}y\right)}_{x}}-{{\left({{y}^{3}}\right)}_{x}}\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy\\\end{aligned}}}
