Karmaşık eşlenik

Matematikte, bir karmaşık sayının karmaşık eşleniği, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak zıt bir sanal kısma ve eşit bir gerçel kısma sahip olan bir karmaşık sayıdır. Yani, $a$ ve $b$ gerçel sayılar ise, o zaman $a+ib$'nin karmaşık eşleniği $a-ib$ olur.

$z$ ve eşleniği ${\overline {z}}$ sayılarının karmaşık düzlemdeki geometrik temsili. Karmaşık eşlenik $z$'nin gerçel eksene göre yansıtmasıyla elde edilir.

Gösterim

Bir karmaşık sayının eşleniği genelde bu karmaşık sayının üzerine sayıyı kaplayacak şekilde çekilen bir çizgi ile gösterilir. Yani, karmaşık sayı $z=a+ib$ ise, bu sayının eşleniği ${\overline {z}}={\overline {a+ib}}=a-ib$ olur. Matematikte nadir de olsa $z^{*}$ kullanımı da mevcuttur. Ancak, bu tür bir gösterimin bir matrisin eşlenik devrik matrisiyle karıştırılması ihtimali artacağından bu gösterim pek tercih edilmez.

Kutupsal koordinat sisteminde, eğer $r$ ve $\varphi$ gerçel sayılarsa, o zaman $re^{i\varphi }$ sayısının eşleniği $re^{-i\varphi }$ sayısıdır. Bunu Euler formülü aracılığıyla göstermek basittir.

Özellikler

• Bir karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı gerçel bir sayıdır; yani, $z=a+ib$ ya da polar koordinat gösteriminde $z=re^{i\varphi }$ ise o zaman $z{\overline {z}}=a^{2}+b^{2}=r^{2}$ olur.
• Herhangi iki karmaşık sayı için, eşlenik alma işleminin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme üzerine dağılmalıdır. Herhangi iki karmaşık sayı $z$ ve $w$ olsun. O zaman,

${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},$

${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}},$

${\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}},$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad ({\text{eğer }}w\neq 0$ ise)

• Bir karmaşık sayının eşleniğinin kendisine eşit olması için bu sayının sanal kısmının sıfıra eşit olması lazımdır. Diğer deyişle, bu karmaşık sayı aslında bir gerçel sayıdır.
• Bir karmaşık sayının mutlak değeri eşlenik altında değişmez; yani, $\left|{\overline {z}}\right|=|z|.$
• Eşlenik alma işlemi bir involüsyondur. Yani, karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine karmaşık sayıyı verir.
• Karmaşık bir sayının mutlak değeri karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı üzerinden tanımlabilir: $z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}$. O zaman, her $z\neq 0$ için $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ olur ki bu da bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini hesaplamayı kolaylaştırır.
• Karmaşık sayılar üzerinde
  • eşlenik alma işlemi ile tam sayı üssü alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her $n\in \mathbb {Z}$ için ${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}$ sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile üstel alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her $n\in \mathbb {Z}$ için $e^{\overline {z}}={\overline {e^{z}}}$ sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile logaritma alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, eğer $z$ logaritmanın tanım kümesi içerisindeyse $\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}$ sağlanır.
• Tek karmaşık değişkenli ver gerçel sayı katsayılı polinomların köklerinden biri karmaşık sayı ise, o zaman bu kökün karmaşık eşleniği de bu polinomun yine köküdür.

Değişken olarak kullanımı

Bir karmaşık değişken $z=x+iy$ veya $z=re^{i\theta }$ halinde verilmiş olsun. O zaman eşleniği kullanarak, $z$-değişkeninin gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir ve basi:

• Gerçel kısım : $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• Sanal kısım: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• Mutlak değer: $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• Argüman: $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},$ böylece $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$.

Dahası, ${\overline {z}}$ karmaşık düzlemdeki doğruları tanımlamak için de kullanılabilir. Mesela, $$\left\{z:z{\overline {w}}+{\overline {w}}r=0\right\}$$ kümesi orijinden geçen ve ${w}$'ya dik olan bir doğruyu verir. Çünkü, $z\cdot {\overline {r}}$ ifadesinin gerçel kısmının sıfıra eşit olması ancak when the cosine of the angle between $z$ ve ${w}$ arasındaki açının kosinüsünün sıfıra eşit olmasıyla mümkündür. benzer bir şekilde, sabitlenmiş biri birim karmaşık sayısı $u=e^{ib},$ için $${\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}$$ ifadesi de 0 ve $u$'dan geçen doğruya paralel olan ve $z_{0}$'dan geçen bir doğru verir.