Naif küme teorisi

Naif küme teorisi, 19. yüzyılın sonlarında geliştirilen orijinal küme teorisidir. Bu teori, bir kümenin bazı ortak özelliklerle birleştirilen farklı şeylerin bir koleksiyonu olarak düşünülmesini sağlar. Ayrık matematikten zaten bilinen örneğin, bir kümede hangi öğelerin bulunduğunu gösteren Venn diyagramları veya Boole cebiri gibi kavramların çoğu kullanılır. Saf küme teorisindeki ciddi kusurların (Russel paradoksu gibi) keşfine yanıt olarak geliştirilen aksiyomatik küme teorisi ile karıştırılmamalıdır. Çağdaş matematik ve mühendisliğin birçok alanı için yeterince güçlüdür.^[1]

Naif küme teorisi bir dizi soruna yol açar:

1897'de keşfedilen Burali-Forti paradoksu nedeniyle tüm sıra sayıları kümesini oluşturmak mümkün değildir.
Cantor paradoksu'nda gösterildiği gibi (Birinci Cantor paradoksu) tüm kardinal sayıların kümesini oluşturmak mümkün değildir.
Her şeyin veya kümelerin kümesini oluşturmak mümkün değildir. Cantor paradoksunun ikincisinde gösterildiği gibi (1899'da keşfedildi).
Kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi, 1902'de keşfedilen Russell paradoksu'nu oluşturur.

Yukarıdaki tüm problemler ancak aksiyomlar, kümeleri ve özelliklerini tanımlamak için kullanılabildiğinde problem olarak gösterilebilir.

Richard Dedekind (1831-1916) bu durumu keşfetti ve 1888'de yeni bir küme teorisi başlattı. Keşfettiği küme teorisinde kümeler hakkında aksiyomlar vardır. Ancak onun aksiyomatik küme teorisi de yine de yeterince iyi değildir çünkü:

Tüm sonlu ondalık sayılar kümesi, 1905'te keşfedilen Richard paradoksuna yol açar.
Tüm sonlu doğal sayılar kümesi, 1908'de keşfedilen Berry paradoksunu gösterir.
Sahip olmadıkları bir özelliği tanımlayan tüm kelimelerin kümesine, 1908'de keşfedilen Grelling-Nelson paradoksu denir.

Kaynakça

^ "Categorical algebra and set-theoretic foundations", Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, ss. 231-240 . "The working mathematicians usually thought in terms of a naïve set theory (probably one more or less equivalent to ZF) ... a practical requirement [of any new foundational system] could be that this system could be used "naïvely" by mathematicians not sophisticated in foundational research" (p. 236).

Kaynaklar

Bourbaki, N.
Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", J. Reine Angew. Math., 1874 (77), ss. 258-262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, 4 Haziran 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 19 Haziran 2023, See also pdf version
Frege, Gottlob (1893), Grundgesetze der Arithmetik, 1, Jena
Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.
- Halmos, Paul (1974). Naive Set Theory (Reprint bas.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
- Halmos, Paul (2011). Naive Set Theory (Paperback bas.). Mansfield Centre, CN: D. Van Nostrand Company. ISBN 978-1-61427-131-4.
Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
van Heijenoort, J. 0-674-32449-8.
Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors., Berlin: Springer, ISBN 3-540-50621-7
Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita, Torino
Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor, Berlin: Springer

Dış bağlantılar

Beginnings of set theory 28 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) 3 Kasım 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[1] "Categorical algebra and set-theoretic foundations", Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, ss. 231-240 . "The working mathematicians usually thought in terms of a naïve set theory (probably one more or less equivalent to ZF) ... a practical requirement [of any new foundational system] could be that this system could be used "naïvely" by mathematicians not sophisticated in foundational research" (p. 236).

[1]