Pertürbasyon teorisi

Pertürbasyon teorisi, tam olarak çözümlenemeyen bir problemin, bu probleme bağlı başka bir problemden yola çıkılarak yaklaşık bir çözüm elde etmek için matematiksel metotlar içeren teoridir. Kesin olarak çözümlenebilen problemin matematiksel tanımına "küçük" bir terim eklenerek eldeki problem formüle edilebiliyorsa, pertürbasyon teorisi uygulanabilirdir.

Pertürbasyon teorisi, istenilen çözümün, kesin çözümlü problemden sapmanın miktarını belirleyen "küçük" parametre kullanılarak kuvvet serisi terimleri ile ifade edilmesine öncülük eder. Kuvvet serisinin ana terimi, kesin çözümlü problemin çözümü; diğer terimler ise ilk problemden sapma miktarına göre belirlenen, çözümdeki sapmayı tanımlar.

e: küçük parametre A: tam çözüm

Tam çözüme yaklaşımlı çözüm: A=e⁰A₀+e¹A₁+e²A₂...

A₀: kesin çözümlü problemin çözümü

A₁,A₂,... : higher order sistematik prosedürde tekrarlanarak bulunan terimler

Pertürbasyon çözümü, yaklaşım serilerini belli bir noktada kesmekle yapılır. Genellikle çözüm, ilk iki terim A₀+e¹A₁ de kesilebilir. Bu I. dereceden pertürbasyon düzeltmesi ve ilk çözümüdür.

Gök mekaniği uygulaması

Pertürbasyon teorisi eski bir yöntem olan nümerik analizde kullanılan metotlarla ilişkilidir. Pertürbasyon teorisinin ilk kullanımı gök mekaniğinin çözümlenemeyen matematiksel problemleri ile başa çıkmada görülür. (Gök mekaniği: Dünya ve Güneşin çekiminin hesaplanmasından sonra, Kepler elipsinden farklı olarak hareket ettiği birkaça yıl sonra tanımlanan, Ayın yörüngesi için Newton'un çözümü)

Pertürbasyon metotları, orijinal problemin "yeterince basit" olacak şekilde basitleştirilmesi ile başlar. Gök mekaniğinde bu genellikle Kepler elipsidir. Elips, yalnızca iki çekimli kütle (sadece Ay ve Dünya) olduğunda doğru ancak üç ya da daha fazla kütle olduğunda tam doğru değildir (Dünya, Ay, Güneş ve Güneş sisteminin bir kısmı). Basitleştirilmiş problem koşulları yapmak üzere pertürbe edilir. Örneğin üçüncü bir kütlenin (Güneş gibi) yerçekimi etkisini içeren gerçek probleme en yakın çözümü pertürbe edilmiş çözüm sağlar. Koşullar, gerçeği temsil eden bir ya da daha çok -Newton'un ikinci kuralı (kuvvet-ivme denklemi) gibi- fiziksel bir kanundan ortaya çıkan formüllerdir.

F=ma

Örneğe göre, F kuvveti çekimsel olarak ilişkili kütleler üzerinden hesaplanır, a ivmesi ise ayın yörüngesi üzerindeki yoldan hesap kullanılarak gözlemlenir. Bu ikisi de iki formda gelir: kuvvet ve ivmenin yaklaşık değerleri (basitleştirmelerin bir sonucu olarak) ve kuvvet ve ivmenin kuramsal kesin değerleri (hesaplanması için tam cevabı gereklidir).