Poincaré hipotezi

Topolojide Poincaré hipotezi, Fransız matematikçi, fizikçi ve filozof Henri Poincaré'nin 1904 yılında ortaya attığı teoremdir.

Poincaré varsayımı
Bir tıkız 2-boyutlu yüzey sınır olmaksızın, her ilmek sürekli olarak bir noktaya sıkıştırılabiliyorsa, topolojik olarak homeomorfik bir 2-küreye benzer. Poincaré varsayımı aynı durumun 3 boyutlu uzaylar için de geçerli olduğunu ileri sürer.
Alan	Geometrik topoloji
Varsayan	Henri Poincaré
Varsayılma zamanı	1904
İlk kanıtlayan	Grigori Perelman
İlk kanıtlanma zamanı	2002
İma eden	Geometrizasyon varsayımı Zeeman varsayımı
Genelleştirmeler	Genelleştirilmiş Poincaré varsayımı

Bu teoreme göre tıkız, kenarı olmayan, deliği olmayan (basit bağlantılı) üç boyutlu bir çok katlı, yalnızca üç boyutlu bir küre olabilir.

Poincaré hipotezi, her noktası çevresinde yerel olarak üç boyutlu Öklit uzayına benzeyen topolojik uzaylara ilişkin bir önerme ifade etmektedir. Kenarsız (bir çemberin kenarı yoktur) ancak tıkız (ucu bucağı olan) böyle bir uzay düşünelim. Eğer bu uzayın içine atılmış her çember uzayın içinde kalarak bir noktaya büzülebiliyorsa (deliği yoksa), Poincaré hipotezine göre bu uzay dört boyutlu Öklit uzayında yatan üç boyutlu bir küre olmalıdır. Deliği olmayan bir uzay iki boyutlu şu basit örnekle canlandırılabilir: bir elmanın kabuğuna gerilmiş paket lastiği, lastiği koparmadan ya da kabuğu parçalamadan kabuk üstündeki bir noktaya büzülebilir, ancak ortası delik bir simitte bu olanaklı değildir, delik var oldukça bazı lastikler simit yüzeyinde kalarak bir noktaya büzülemez.

Bu hipotezin ispatıyla evrenin oluşumu, açık evrenin geleceği, evrenin içindeki mevcut uzay zaman dokusundaki görülemeyen madde olan karanlık maddenin evrenin genişlemesi üzerindeki etkileri konularında pek çok yeni teori ve varsayım geliştirilecektir.

Kapalı iki boyutlu yüzeyler üzerindeki her bir çevrim tek bir noktaya büzüşebiliyorsa, bu yüzey küredir. Poincare hipotezii aynı durumun üç boyutta da geçerli olduğunu iddia eder.

Renkli çevrimlerin hiçbiri yüzeyden ayrılmadan bir noktaya büzüşemez.

Çözümü

Grigori Perelman Berkeley'de.

Matematikçileri yaklaşık bir asır boyunca uğraştıran bu problem 44 yaşındaki Rus matematikçi Grigori Perelman tarafından çözülerek 2002-2003 yıllarında çizimler hâlinde kamuoyuna sunuldu. O zamandan bu yana çeşitli önemli matematik heyetleri tarafından, 2006 yılında da resmî olarak doğruluğu tasdik edildi. 18 Mart 2010 tarihinde kendisine Milenyum Ödülü verildi.

Topolojinin en büyük problemlerinden biri olan Poincaré hipotezi, ödüllü Yedi Milenyum Problemi'nden birisiydi ve bugüne kadar çözülen ilk problem oldu. Clay Matematik Enstitüsü ilk doğru çözüme 1 milyon dolar vadetmişti ancak Perelman ödülü kabul etmedi. Perelman bu çözüm nedeniyle Fields Ödülü'ne de layık görüldü ancak reddetti.