Uzayzamanda 2 nokta düşünelim
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle \,(x,y,z,t)}
(
x
+
d
x
,
y
+
d
y
,
z
+
d
z
,
t
+
d
t
)
{\displaystyle \,(x+dx,\,y+dy,\,z+dz,\,t+dt)}
3-boyutlu uzaydaki uzaklık kavramını genişleterek
d
s
{\displaystyle \,ds}
uzayzaman aralığı kavramına ulaşırız.
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
(
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
)
{\displaystyle \,ds^{2}=c^{2}dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}
bu yazılışa göre uzayzaman aralığı 3 ayrı kategoride düşünelibilir
d
s
2
>
0
{\displaystyle \,ds^{2}>0}
d
s
2
<
0
{\displaystyle \,ds^{2}<0}
d
s
2
=
0
{\displaystyle \,ds^{2}=0}
3-boyutlu uzaydaki uzaklık
d
r
2
=
(
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
)
{\displaystyle \,dr^{2}=(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}
sayıldır (vektör değildir).
Özel görelilik kuramı 4-boyutlu Minkowski uzayzamanı içindeki değişmezlik 'leri (invariant) ya da bakışım 'ları (symmetry) inceler. Bu kuramda yandeğişken yöney (covariant vector) ve karşıdeğişken yöney (contravariant vector) kavramları vardır.
karşıdeğişken yöney:
x
μ
=
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
c
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \,x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}
yandeğişken yöney:
x
μ
=
(
x
0
,
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
(
c
t
,
−
x
,
−
y
,
−
z
)
{\displaystyle \,x_{\mu }=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(ct,-x,-y,-z)}
aralıklarını yazarsak
d
x
μ
=
(
d
x
0
,
d
x
1
,
d
x
2
,
d
x
3
)
=
(
d
(
c
t
)
,
d
x
,
d
y
,
d
z
)
{\displaystyle \,dx^{\mu }=(dx^{0},dx^{1},dx^{2},dx^{3})=(d(ct),dx,dy,dz)}
d
x
μ
=
(
d
x
0
,
d
x
1
,
d
x
2
,
d
x
3
)
=
(
d
(
c
t
)
,
−
d
x
,
−
d
y
,
−
d
z
)
{\displaystyle \,dx_{\mu }=(dx_{0},dx_{1},dx_{2},dx_{3})=(d(ct),-dx,-dy,-dz)}
Notasyon kuralına göre
d
s
{\displaystyle \,ds}
yandeğişken yöney ve karşıdeğişken yöney aralıklarının iççarpım 'ından elde edilir.
d
s
2
=
d
x
μ
d
x
μ
=
c
2
d
t
2
−
(
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
)
{\displaystyle \,ds^{2}=dx^{\mu }dx_{\mu }=c^{2}dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}
Burada Einstein toplam uzlaşımı notasyonu kullanılır, yani
d
s
2
=
d
x
μ
d
x
μ
{\displaystyle \,ds^{2}=dx^{\mu }dx_{\mu }}
μ
{\displaystyle \,\mu }
yöney elemanlarının "iççarpım" işlemi sırasında her endeks için elde edilen çarpımın toplandığını simgesel olarak gösterir.
Notasyonun amacı kuramsal açıklamaları en kısa simgesel yazım ile anlatmaktır. Bir başka amacıda
d
x
μ
d
x
μ
{\displaystyle \,dx^{\mu }dx_{\mu }}
d
r
2
{\displaystyle \,dr^{2}}
∂
μ
=
∂
∂
x
μ
=
(
∂
0
,
∂
1
,
∂
2
,
∂
3
)
=
(
1
c
∂
∂
t
,
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
{\displaystyle \,\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\,\,^{,}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\,^{,}{\frac {\partial }{\partial y}}\,\,^{,}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}
∂
μ
=
g
μ
ν
∂
ν
{\displaystyle \,\partial ^{\mu }=g^{\mu \nu }\partial _{\nu }}
∂
μ
∂
μ
=
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
(
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
)
{\displaystyle \,\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)}
∂
μ
∂
μ
{\displaystyle \,\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\,\,\,}
d'Alembertian operatörü olarak bilinir ve bir Lorentz değişmezi 'dir.
