Temsil teorisi

Temsil teorisi soyut cebirdeki cebirsel yapıları, daha somut olan matematiksel nesnelerin dönüşümleri olarak tasvir etmeye çalışan bir matematik dalıdır. Örneğin soyut bir $G$ grubunu bir vektör uzayı $V$ 'nin eşyapı dönüşüm grubunun( $Aut(V)$ ) içinde görmeye çalışır. Böyle temsillere doğrusal temsil denir, çünkü bu temsil aslında $G$ grubundan genel lineer grup $GL(V)$ 'ye bir morfizma yazmak demektir.^[1] Böyle bir temsil bulmaktaki amaç, $G$ grubunu çalışmak için lineer cebir kullanmaktır. Soyut gruplardaki çarpma işlemi, özellikle bir bilgisayar için matris çarpmasından daha zordur. Soyut bir grubun doğrusal temsillerini kullanarak, gruptaki kimi hesaplamaları bilgisayara yaptırmak daha kolay olur.

$G$ 'den bir $X$ kümesinin eşyapı dönüşüm grubu $Aut(X)$ 'e bir morfizma yazarak, kümesel bir temsil elde edilir. Kümesel temsillere literatürde genellikle grup etkisi denir. $X$ 'in eşyapı dönüşümleri grubu aynı zamanda $Sym_{X}$ simetrik grubu olduğu için, $G$ 'nin $X$ kümesine etkisi, $G$ 'den $Sym_{X}$ grubuna bir grup morfizması yazmakla eşdeğerdir.

Benzer bir şekilde $G$ 'den bir $T$ ağacının eşyapı dönüşümü grubu $Aut(T)$ 'ye bir morfizma yazarak, ağaçsal bir temsil elde edilir.

Grup temsilleri yerine, halka temsillerinden de bahsedilebilir. Abelyen grup yapısı bulunan bir matematiksel nesne $A$ 'nın yapı dönüşümleri $End(A)$ , morfizmaların toplamasını $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ olarak yazarsak, bu toplama işlemi ve fonksiyon bileşkesi altında bir halka olur. Dolayısıyla bir $R$ halkasının temsilini vermek için, $R$ 'den $End(A)$ 'ya bir halka homomorfizması yazmak gerekir. Örneğin bir $R$ halkasının doğrusal bir temsili, $R$ 'den bir vektör uzayı $V$ 'nin yapı dönüşümleri halkası $End(V)$ 'ye bir halka homomorfizması yazılarak yapılır.

Ayrıca bakınız

Numerik analiz

Notlar

^ Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998).

Kaynakça

Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7 .
Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the Lorenz group", Annals of Mathematics, 48 (3), ss. 568-640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129 .
Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 9780821802885 .
Borel, Armand; Casselman, W. (1979), Automorphic Forms, Representations, and L-functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2 .
Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7 .
Gelbart, Stephen (1984), "An Elementary Introduction to the Langlands Program", Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2), ss. 177-219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6, 1 Haziran 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 29 Haziran 2018 .
Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5 .
Şablon:Fulton-Harris.
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0 .
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2. bas.), Springer, ISBN 978-3319134666
Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
Humphreys, James E. (1972a), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7 .
Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Berlin/New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2 .
Kac, Victor G. (1977), "Lie superalgebras", Advances in Mathematics, 26 (1), ss. 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3. bas.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6 .
Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4 .
Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6 .
Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7 .
Lam, T. Y. (1998), "Representations of finite groups: a hundred years", Notices of the AMS, American Mathematical Society, 45 (3,4), ss. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II) .
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], 34 (3 bas.), Berlin/New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602 ; MRMR 0719371 (2nd ed.); MRMR 1304906(3rd ed.)
Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2 .
Peter, F.; Weyl, Hermann (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Mathematische Annalen, 97 (1), ss. 737-755, doi:10.1007/BF01447892, 19 Ağustos 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 29 Haziran 2018 .
Pontrjagin, Lev S. (1934), "The theory of topological commutative groups", Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 35 (2), ss. 361-388, doi:10.2307/1968438, JSTOR 1968438 .
Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7 .
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909 .
Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN 978-0-387-94732-7 .
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7 .
Sternberg, Shlomo (1994), Group Theory and Physics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3 .
Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics (1. bas.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 bas.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1 .
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2. bas.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9 .
Wigner, Eugene P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 40 (1), ss. 149-204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551 .

Dış bağlantılar

Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Representation theory", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[1] Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998).

[1]