Von Neumann eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde ev daha da özelde operatör kuramında, von Neumann eşitsizliği bir büzüşmenin polinomlar altında yine büzüşme olduğunu belirtir. Eşitsizlik, bu yönde ilk sonuçları ilk kez 1952'de kanıtlayan John von Neumann'ınn adını taşımaktadır.^[1]

Eşitsizliğin ifadesi

$T$ bir Hilbert uzayının büzüşmesi ve $p$ de karmaşık katsayılara sahip bir polinom ise, o zaman $p(T)$ gönderiminin normu $\sup _{z\in \mathbb {D} }|p(z)|$ ile üstten sınırlıdır.^[2] ^[3] ^[4]

Kanıt

Eşitsizlik, $T$ 'nin birimcil genleşmesi göz önüne alınarak ispatlanabilir. Eşitsizlik, bu hâlde açıktır.

Genelleştirmeler

Bu eşitsizlik Matsaev sanıtının özel bir durumudur. Yani, herhangi bir $P$ polinomu ve $L^{p}$ uzayı üzerindeki $T$ büzüşmesi için, S sağa kaydırma operatörü olmak üzere

||P(T)||_{L^{p}\to L^{p}}\leq ||P(S)||_{\ell ^{p}\to \ell ^{p}}

eşitsizliği doğru mudur? Von Neumann eşitsizliği bu sanıtın $p=2$ içn doğru olduğunu kanıtlamaktadır. $p=1$ ve $p=\infty$ için eşitsilik, doğrudan hesaplamayla elde edilir. Stephen Drury, 2011'de varsayımın $p=4$ iken doğru olmadığını gösterdi.^[5]

Ayrıca bakınız

Crouzeix sanıtı

Kaynakça

^ John von Neumann (1952), "Eine Spektraltheorie für allgemeine Operatoren eines unitären Raums", Mathematische Nachrichten (Almanca), cilt 4, ss. 258-281
^ Nikolai Nikolski (2020), Toeplitz Matrices and Operators (İngilizce), Cambridge University Press, s. 55, ISBN 978-1-107-19850-0
^ Nikolai Nikolski (2020), Toeplitz Matrices and Operators (İngilizce), Cambridge University Press, s. 59, ISBN 978-1-107-19850-0
^ Paul Halmos (1974), A Hilbert Space Problem Book (İngilizce), New York: Springer, s. 123, ISBN 978-1-4684-9330-6, Problem 180
^ Drury, S.W. (2011). "A counterexample to a conjecture of Matsaev". Linear Algebra and Its Applications. 435 (2): 323-329. doi:10.1016/j.laa.2011.01.022.

[JvN-1] John von Neumann (1952), "Eine Spektraltheorie für allgemeine Operatoren eines unitären Raums", Mathematische Nachrichten (Almanca), cilt 4, ss. 258-281

[Nikolski1-2] Nikolai Nikolski (2020), Toeplitz Matrices and Operators (İngilizce), Cambridge University Press, s. 55, ISBN 978-1-107-19850-0

[Nikolski2-3] Nikolai Nikolski (2020), Toeplitz Matrices and Operators (İngilizce), Cambridge University Press, s. 59, ISBN 978-1-107-19850-0

[Halmos-4] Paul Halmos (1974), A Hilbert Space Problem Book (İngilizce), New York: Springer, s. 123, ISBN 978-1-4684-9330-6, Problem 180

[5] Drury, S.W. (2011). "A counterexample to a conjecture of Matsaev". Linear Algebra and Its Applications. 435 (2): 323-329. doi:10.1016/j.laa.2011.01.022.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]