Weber sayısı

Weber sayısı (We), akışkanlar mekaniği alanında farklı iki akışkan arasındaki ara yüzeylerin bulunduğu akışkan akışlarını analiz ederken sıkça kullanılan bir boyutsuz sayıdır ve özellikle yüksek derecede eğilmiş yüzeylere sahip çok fazlı akışlar için oldukça faydalıdır. Bu sayı, Moritz Weber (1871–1951)'in adıyla anılmaktadır. Bu sayı, akışkanın eylemsizliğinin yüzey gerilimine kıyasla göreceli önemini ölçmek için kullanılan bir parametre olarak düşünülebilir. İnce film akışlarının ve damlacık ile kabarcık oluşumlarının analizinde büyük önem taşır.

Bir tuğlanın yarısının suya çarpması sonucu oluşan bir sıçrama; görüntü yaklaşık olarak yarım metre genişliğindedir. Havada serbestçe hareket eden su damlacıklarına dikkat edin, bu durum yüksek Reynolds sayısı akışlarının tipik bir özelliğidir; damlacıkların karmaşık ve küresel olmayan şekilleri, Weber sayısının yüksek olduğunu gösterir. Ayrıca suyun içinde hapsolmuş kabarcıklara ve darbe noktasından uzaklaşarak yayılan genişleyen bir distürbans halkasına dikkat edin.

Matematiksel ifade

Weber sayısı şu şekilde ifade edilebilir:

$\mathrm {We} ={\frac {\mbox{Sürükleme kuvveti}}{\mbox{Kohezyon kuvveti}}}=\left({\frac {8}{C_{\mathrm {D} }}}\right){\frac {\left({\frac {\rho \,v^{2}}{2}}\,C_{\mathrm {D} }\pi {\frac {l^{2}}{4}}\right)}{\left(\pi \,l\,\sigma \right)}}={\frac {\rho \,v^{2}\,l}{\sigma }}$

burada:

• $C_{\mathrm {D} }$, cismin kesit alanının sürükleme katsayısıdır.
• $\rho$, akışkanın yoğunluk değeridir (kg/m³).
• $v$, akışkanın süratidir (m/s).
• $l$, akışkanın karakteristik uzunluk ölçüsüdür (genellikle damlacık çapı (m)).
• $\sigma$, akışkanın yüzey gerilimi değeridir (N/m).

İndirgenmiş Weber sayısı,

$\mathrm {We} ^{*}={\frac {\mathrm {We} }{12}}$

çarpışma anındaki kinetik enerjinin yüzey enerjisine oranına eşittir,

$\mathrm {We} ^{*}={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{\mathrm {surf} }}}$,

burada

$E_{\mathrm {kin} }={\frac {\pi \rho l^{3}v^{2}}{12}}$  

ve

$E_{\mathrm {surf} }=\pi l^{2}\sigma$.

Navier-Stokes denklemlerinde görünüm

Weber sayısı, sıkıştırılamaz Navier–Stokes denklemleri içinde serbest yüzey sınır koşulu aracılığıyla ortaya çıkar.

Sabit yoğunluk $\rho$ ve dinamik viskozite $\mu$ değerine sahip bir akışkan için, serbest yüzey ara yüzeyinde normal gerilme ve yüzey gerilimi ile ilişkili eğrilik kuvveti arasında bir denge durumu vardır:

${\widehat {\bf {n}}}\cdot \mathbb {T} \cdot {\widehat {\bf {n}}}=\sigma \left(\nabla \cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)$

Burada ${\widehat {\bf {n}}}$, yüzeye dik birim normal vektörü temsil eder, $\mathbb {T}$ Cauchy gerilme tensörüdür ve $\nabla \cdot$ diverjans operatörüdür. Sıkıştırılamaz bir akışkanın Cauchy gerilme tensörü şu şekilde ifade edilir:

$\mathbb {T} =-pI+\mu \left[\nabla {\bf {v}}+(\nabla {\bf {v}})^{T}\right]$

Dinamik basıncı $p_{d}=p-\rho {\bf {g}}\cdot {\bf {x}}$ olarak tanımlayıp, yüksek Reynolds sayısı akışını varsayarak, değişkenler şu ölçeklendirmelerle boyutsuzlaştırılabilir:

$p_{d}=\rho V^{2}p_{d}',\quad \nabla =L^{-1}\nabla ',\quad {\bf {g}}=g{\bf {g}}',\quad {\bf {x}}=L{\bf {x}}',\quad {\bf {v}}=V{\bf {v}}'$

Boyutsuzlaştırılmış değişkenlerde serbest yüzey sınır koşulu şu şekilde olur:

$-p_{d}'+{1 \over {{\text{Fr}}^{2}}}z'+{1 \over {\text{Re}}}{\widehat {\bf {n}}}\cdot \left[\nabla '{\bf {v}}'+(\nabla '{\bf {v}}')^{T}\right]\cdot {\widehat {\bf {n}}}={1 \over {\text{We}}}\left(\nabla '\cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)$

Burada ${\text{Fr}}$ Froude sayısı, ${\text{Re}}$ Reynolds sayısı ve ${\text{We}}$ Weber sayısıdır. Weber sayısının etkisi, bu sayede, yerçekimi ve viskoz kuvvetlere göre nicel olarak değerlendirilebilir.

Uygulamalar

Weber sayısının önemli bir uygulaması, ısı borularının incelenmesidir. Isı borusunun buhar çekirdeğindeki momentum akısı yüksek olduğunda, fitildeki sıvıya uygulanan kayma gerilmesi, damlacıkları buhar akışına katacak kadar büyük olabilir. Weber sayısı, bu olgunun başlangıcını belirleyen boyutsuz bir parametredir ve bu fenomen "entrainment limiti" olarak adlandırılır (Weber sayısı 1 veya daha büyük olduğunda). Bu bağlamda, Weber sayısı, buhar tabakasındaki momentumun, sıvıyı sınırlayan yüzey gerilimi kuvvetine oranı olarak tanımlanır ve karakteristik uzunluk yüzey gözenek boyutudur.

Diğer okumalar

• Weast, R. Lide, D. Astle, M. Beyer, W. (1989-1990). CRC Handbook of Chemistry and Physics. 70th ed. Boca Raton, Florida: CRC Press, Inc.. F-373,376.