Young evrişim eşitsizliği

Matematikte Young evrişim eşitsizliği iki fonksiyonun evrişimiyle alakalı bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, William Henry Young'ın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Öklid uzaylarında

$1\leq p,q,r\leq \infty$ olmak üzere ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1$ özelliği sağlansın. $f$ fonksiyonu $L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ Lebesgue uzayında ve $g$ fonksiyonu $L^{q}(\mathbb {R} ^{d})$ Lebesgue uzayında ise $\|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$ eşitsizliği vardır.^[1] Burada, yıldız işareti ile evrişim kastedilmiştir.

Eşdeğer olarak, $p,q,r\geq 1$ ve ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ ise, o zaman $\left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right|\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.$

Genelleştirmeleri

Young eşitsizliğinin $\mathbb {R} ^{d}$ nin yerine bir $G$ unimodüler grubu konulduğu doğal bir genelleştirmesi vardır. Eğer $\mu$ , $G$ üzerinde çifte değişmez bir Haar ölçüsü ise ve $f,g:G\to \mathbb {R}$ veya $\mathbb {C}$ integrallenebilir fonksiyonlar ise $f*g$ fonksiyonu, yani evrişim, $f*g(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,\mathrm {d} \mu (y)$ tanımlanabilir. O zaman, bu durumda, Young eşitsizliğinin ifadesi şöyle olur: $p,q,r\in [1,\infty ]$ ve ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1$ olmak üzere, $f\in L^{p}(G,\mu )$ ve $g\in L^{q}(G,\mu )$ için $\lVert f*g\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}$ eşitsizliği vardır.

Eşdeğer olarak, $p,q,r\geq 1$ ve ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ ise, o zaman $\left|\int _{G}\int _{G}f(x)g(y^{-1}x)h(y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \mu (y)\right|\leq \left(\int _{G}\vert f\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{G}\vert g\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\left(\int _{G}\vert h\vert ^{r}\right)^{\frac {1}{r}}.$

$\mathbb {R} ^{d}$ , Lebesgue ölçüsü (ki istenen Haar ölçüsüdür) altında, aslında yerel tıkız Abelyen grup (ve bu yüzden unimodüler grup) olduğu için, bu yukarıda bahsedilenler gerçekten genelleştirme sayılır.

Bu genelleştirme daha da iyileştirilebilir: $G$ ve $\mu$ daha önceki gibi olsun ve $1<p,q,r<\infty$ sayılarının ${\textstyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}+1}$ eşitliğini sağladığı varsayılsın. O zaman, her $f\in L^{p}(G,\mu )$ ve $G$ üzerinde tanımlı ölçülebilir ve zayıf $L^{q}$ uzayı $L^{q,w}(G,\mu )$ 'nün elemanı olan^{[not 1]} her $g$ fonksiyonu için $f*g\in L^{r}(G,\mu )$ olur ve $\|f*g\|_{r}~\leq ~C\,\|f\|_{p}\,\|g\|_{q,w}$ eşitsizliği vardır.^[2]

Ayrıca bakınız

Minkowski eşitsizliği

Notlar

^ $g$ fonksiyonunun $L^{q,w}(G,\mu )$ 'nün elemanı olma koşulu şu supremum normunun sonlu olması demektir: $\|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)$

Kaynakça

^ Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, I, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, MR 2267655, Zbl 1120.28001 , Theorem 3.9.4
^ Bahouri, Hajer; Chemin, Jean-Yves; Danchin, Raphaël (2011). Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 343. Berlin, Heidelberg: Springer. ss. 5-6. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128.

Dışa bağlantılar

Young's Inequality for Convolutions (ProofWiki)

Analiz ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.

[2] $g$ fonksiyonunun $L^{q,w}(G,\mu )$ 'nün elemanı olma koşulu şu supremum normunun sonlu olması demektir: $\|g\|_{q,w}^{q}~:=~\sup _{t>0}\,t^{q}\mu (|g|>t)$

[1] Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory, I, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-34513-8, MR 2267655, Zbl 1120.28001 , Theorem 3.9.4

[3] Bahouri, Hajer; Chemin, Jean-Yves; Danchin, Raphaël (2011). Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 343. Berlin, Heidelberg: Springer. ss. 5-6. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128.

[1]

[not 1]

[2]