Matematikte zeta sabiti, bir tam sayının Riemann zeta fonksiyonunda yerine yazılmasıyla elde edilen sayıdır. Bu madde farklı tam sayı değerleri için zeta fonksiyonu özdeşlikleri içermektedir.

0 ve 1'de Riemann zeta fonksiyonu

değiştir

Sıfırda

 

eşitliği geçerlidir. 1 noktasında bir kutup bulunur.

 

Pozitif tam sayılar

değiştir

Pozitif çift tam sayılar

değiştir

Pozitif çift tam sayılar kümesi Euler tarafından bulunan ve Bernoulli sayılarıyla ilintilendirilen şu özdeşliği içerir:

 

  koşulunu sağlayan birkaç değer aşağıda verilmiştir.

 ; Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak da bilinir.
 ; Fizikteki Stefan–Boltzmann yasası ve Wien yaklaştırması.
 
 
 
 
 

Pozitif çift tam sayılardaki zeta ile Bernoulli sayıları arasındaki ilişki şu şekilde yazılabilir:

 

Burada   ve   tüm çift n değerlerine karşılık gelen tam sayılardır. Bu değerlerin bir bölümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Katsayılar
2n A B
2 6 1
4 90 1
6 945 1
8 9450 1
10 93555 1
12 638512875 691
14 18243225 2
16 325641566250 3617
18 38979295480125 43867
20 1531329465290625 174611
22 13447856940643125 155366
24 201919571963756521875 236364091
26 11094481976030578125 1315862
28 564653660170076273671875 6785560294
30 5660878804669082674070015625 6892673020804
32 62490220571022341207266406250 7709321041217
34 12130454581433748587292890625 151628697551

 'nin yukarıda gösterildiği gibi   katsayısı olması durumunda

 

eşitliği sağlanır ve özyinelemeli çözümle

 
 

ifadesine ulaşılır.

Bu özyinelemeli ilişki Bernoulli sayılarından da bulunabilir.

Çift sayılarda geçerli olan dizi, 0 noktası yakınında kotanjant fonksiyonunun Laurent açılımı yardımıyla da elde edilebilir.

 

Pozitif tek tam sayılar

değiştir

İlk birkaç tek doğal sayı için

 ; Harmonik seri.
 ; Apéry sabiti
 
 
 

eşitlikleri sağlanır.

ζ(3) (Apéry teoremi) ve ζ(2n+1) (nN) kümesinin sonsuz çoklukta elemanının irrasyonel olduğu bilinmektedir. Riemann zeta fonksiyonunun da pozitif tek sayılar kümesinin kimi alt kümeleri için irrasyonel elemanlara sahip olduğu gözlenmiştir. Örneğin; ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olduğu kesindir.

Bir bölümü aşağıda verilen özdeşliklerin çoğu Simon Plouffe tarafından bulunmuştur. Bu özdeşliklerin kayda değer yanı çok hızlı yakınsamaları ve üç basamağa varan kesinlik oranına ulaşmalarıdır.

Plouffe

 

ve

 

özdeşliklerini bulmuştur.

 

Toplam, Lambert serisi biçiminde verilmiştir.

ζ(2n+1)

değiştir
 

şeklinde tanımlanan büyüklükler

 

biçiminde ilişki dizileri verir. Burada   ve   pozitif tam sayılardır. Plouffe aşağıdaki değerleri de bulmuştur.

Katsayılar
n A B C D
3 180 7 360 0
5 1470 5 3024 84
7 56700 19 113400 0
9 18523890 625 37122624 74844
11 425675250 1453 851350500 0
13 257432175 89 514926720 62370
15 390769879500 13687 781539759000 0
17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100
19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0
21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750

Bu sabitler Bernoulli sayıları toplamı biçiminde de yazılabilir.

Negatif tam sayılar

değiştir

Negatif tam sayılar için

 

eşitliği sağlanır.

  için

"açık sıfırlar" olarak adlandırılan değerlere negatif çift tam sayılarda rastlanır.

 

Negatif tek tam sayıların ilk birkaç değeri aşağıda verilmiştir.

 
 
 
 

Bu sayılar Bernoulli sayılarına benzer biçimde çok büyük negatif tek tam sayı değerleri için küçük değerlere sahip değillerdir. Bu değerlerin ilki için 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesine bakılabilir.

Türevleri

değiştir

Zeta fonksiyonunun negatif çift tam sayılardaki türevi aşağıdaki gibidir.

 

Bu türevin ilk birkaç değeri şu şekildedir:

 
 
 
 

Aşağıdaki eşitlikler de sağlanır.

 
 

Burada   Glaisher-Kinkelin sabitine karşılık gelmektedir.

Zeta Sabitleri Toplamı

değiştir
 

Kaynakça

değiştir