Zincir kuralı (istatistik)

Olasılık teorisinde, zincir kuralı (genel çarpım kuralı^[1] olarak da adlandırılır), yalnızca koşullu olasılıkları kullanarak bir rassal değişkenler kümesinin ortak dağılımının herhangi bir üyesinin hesaplanmasına izin verir. Kural, koşullu olasılıklar açısından bir olasılık dağılımını tanımlayan Bayes ağları çalışmasında kullanışlıdır.

Olaylar için zincir kuralı

İki olay

$A$ ve $B$ iki rassal olay olmak üzere zincir kuralı,

P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)

.

Örnek

\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)=2/3\times 1/2=1/3

.

İkiden fazla olay

$A_{1},\ldots ,A_{n}$ ikiden fazla olay olmak üzere,

\mathrm {P} (A_{n}\cap \ldots \cap A_{1})=\mathrm {P} (A_{n}|A_{n-1}\cap \ldots \cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{n-1}\cap \ldots \cap A_{1})

Tümevarımla şuna ulaşılır:

\mathrm {P} (A_{n}\cap \ldots \cap A_{1})=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right)

.

Dört değişkenli zincir kuralı bu koşullu olasılıkları üretir:

{\begin{aligned}\mathrm {P} (A_{4}\cap A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathrm {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{2}\mid A_{1})\cdot \mathrm {P} (A_{1})\end{aligned}}

Rassal değişkenler için zincir kuralı

İkiden fazla rassal değişken

$X,Y$ iki rassal değişken olmak üzere ortak dağılımı bulmak için koşullu olasılık tanımını uygulanabilir:

\mathrm {P} (X,Y)=\mathrm {P} (X\mid Y)\cdot P(Y)

Rassal değişkenlerin indekslenimi $X_{1},\ldots ,X_{n}$ olmak üzere, ortak dağılımın bu üyesinin değerini bulmak için, koşullu olasılık tanımını uygulanabilir ve şu elde edilir: