İçbükey fonksiyon

Matematikte, gerçel değerli bir fonksiyonun grafiğindeki herhangi iki ayrı nokta arasındaki doğru parçası, grafiğin altında veya üzerinde yer alıyorsa, bu fonksiyona içbükey fonksiyon ya da konkav fonksiyon denir. Eşdeğer bir ifâdeyle, bir fonksiyonun hipografı (fonksiyonun grafiğinin üzerinde veya altındaki noktaların kümesi) bir dışbükey küme ise fonksiyon içbükeydir. Yine grafik üzerinden basitçe tarif etmek gerekirse, dışbükey bir fonksiyonun grafiği bir fincan ∪ veya doğrusal bir fonksiyonda olduğu gibi düz bir çizgi şeklindedir. İçbükey bir fonksiyonun grafiği ise bir şapka ∩ gibi şekle sahiptir.

Bir aralık üzerinde içbükey fonksiyonun grafiği, fonksiyonun bu aralığın başlangıç ve bitiş noktasında aldığı değerleri birleştiren doğru parçasının üstünde kalır.

Tanım

Bir aralıkta (veya daha genel olarak vektör uzayındaki bir dışbükey kümede) tanımlı ve gerçel değerli bir $f$ fonksiyonu eğer her $\alpha \in [0,1]$ için

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

eşitsizliğini tanım kümesindeki her $x$ ve $y$ için sağlıyorsa, o zaman fonksiyona içbükey fonksiyon denir.

Kesin içbükeylik

Eğer $\alpha \in (0,1)$ ve $x\neq y$ için kesin eşitsizlik varsa, yani,

$f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,$

ise, fonksiyona kesin içbükey fonksiyon denir.

İçbükeyimsi fonksiyon

Ana madde: İçbükeyimsi fonksiyon

Bir aralıkta (veya daha genel olarak vektör uzayındaki bir dışbükey kümede) tanımlı ve gerçel değerli bir $f$ fonksiyonu eğer her $\alpha \in [0,1]$ için

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq \min(f(x),f(y))$

eşitsizliğini tanım kümesindeki her $x$ ve $y$ için sağlıyorsa, o zaman fonksiyona içbükeyimsi fonksiyon denir.

Özellikler

içbükey fonksiyonların birçok özelliği, tek değişkenli fonksiyonlar için olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlar için de basitlikle ifâde edilebilir ve genelde de aynı formülasyona sahiptir. Bu yüzden, çok değişkenli fonksiyonlar için aşağıda verilen özelliklere de bakınız; bu özelliklerden bir değişkenli fonksiyonlar kısmında ayrıca bahsedilmemiştir.

Bir değişkenli fonksiyonlar

• En az bir kere türevlenebilen bir fonksiyonun içbükey (ya da kesin içbükey) olması için gerekli ve yeterli şart fonksiyonun türevinin artmayan (ya da kesin azalan) olması lazımdır. Diğer deyişle, içbükey bir fonksiyonun artmayan (ya da kesin azalan) bir eğimi vardır.
• İçbükeylikten dışbükeyliğe ya da dışbükeylikten içbükeyliğe geçilen noktalar büküm noktalarıdır.
• Bir f fonksiyonu en az iki kere türevlenebilir ise, o zaman f'nin içbükeyliği ancak ve ancak f ′′ pozitif değilse mümkündür. Eğer f ′′ negatifse, o zaman f kesin içbükeydir. Ancak, bunun tersi f(x) = −x⁴ örneğinden anlaşılacağı üzere doğru değildir.
• Bir f fonksiyonu içbükey ve türevlenebilir ise, o zaman, birinci dereceden Taylor yaklaştırımı ile yukarıdan sınırlıdır:

$$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$$

• Bir $C$ aralığında tanımlı $f$ fonksiyonu her $x_{1},x_{2}\in C$ için

$$f\!\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\geq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}$$

özelliğini sağlıyorsa bu fonksiyon orta nokta içbükeyliğini sağlıyordur. Bu özellik, içbükeylikten daha zayıf bir özelliktir ve elbette bütün içbükey fonksiyonlar bu özelliği sağlar. Tersi yönde ise Sierpiński'nin dışbükeylik üzerine olan bir teoremi kullanılarak şu ifade verilebilir: Orta nokta içbükeyliğini sağlayan bütün Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar aynı zamanda içbükeydir. Daha da özelde, sürekli bir fonksiyon orta nokta içbükeyliğini sağlıyorsa içbükeydir.

• Eğer bir f fonksiyonu içbükeyse ve f(0) ≥ 0 ise, o zaman f $[0,\infty )$ üzerinde alttoplamsal fonksiyondur. Gerrçekten,

• f içbükey ve 1 ≥ t ≥ 0 olduğundan, y = 0 alırsak,

$$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x)$$

elde ederiz.

• $a,b\in [0,\infty )$ için

$$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$$

elde edilir.

Çok değişkenli fonksiyonlar

• Bir $f$ fonksiyonun dışbükey bir küme üzerinde dışbükeyliği $-f$ fonksiyonunun aynı küme üzerinde içbükeyliğine denktir.
• İki içbükey fonksiyonun toplamı yine içbükeydir ve aynı şekilde iki içbükey fonksiyonun noktasal minimumu da içbükeydir. Yani, belirli bir bölgede tanımlı içbükey fonksiyonların kümesi bir yarıcisim oluşturur.
• Bir fonksiyonun tanım bölgesinin iç kısmındaki kesin yerel maksimum noktasının etrafında fonksiyon içbükey olmalıdır; kısmî tersi olarak, kesin içbükey bir fonksiyonun türevi bir noktada sıfırsa, o nokta yerel bir maksimum noktasıdır.
• İçbükey bir fonksiyonun herhangi bir yerel maksimumu aynı zamanda mutlak bir maksimumdur. Kesin içbükey bir fonksiyonun en fazla bir mutlak maksimumu olacaktır.

Örnekler

• $f(x)=-x^{2}$ ve $g(x)={\sqrt {x}}$ fonksiyonları tanım bölgelerinde $f''(x)=-2$ ve ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ olduğu için; daha ayrıntılı bir ifadeyle, her iki türev her zaman negatif olduğu için içbükeydir.
• $f(x)=\log {x}$ fonksiyonu tanım kümesi $(0,\infty )$ üzerinde, türevi ${\frac {1}{x}}$ kesin azalan bir fonksiyon olduğu için, içbükeydir.
• $f(x)=ax+b$ afin fonksiyonu hem içbükey hem de dışbükeydir; ancak, kesin içbükey ya da kesin dışbükey değildir.
• Sinüs fonksiyonu $[0,\pi ]$ aralığında içbükeydir.
• Kesin negatif olmayan bir B matrisinin determinantı $|B|$ olmak üzere, $f(B)=\log |B|$ fonksiyonu içbükeydir.