İngiliz bayrağı teoremi

Öklid geometrisinde, İngiliz bayrağı teoremi, $ABCD$ dikdörtgeni içinde bir $P$ noktası seçilirse, $P$'den dikdörtgenin iki karşıt köşesine olan Öklid mesafelerinin karelerinin toplamının, diğer iki karşıt köşenin toplamına eşit olduğunu söyler. Denklem olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

İngiliz bayrağı teoremine göre, kırmızı kareler, mavi karelerle aynı toplam alana sahiptir.

Uzayda İngiliz bayrağı teoremi, kırmızı kareler, mavi karelerle aynı toplam alana sahiptir.

$AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,$

Teorem ayrıca dikdörtgenin dışındaki noktalar için ve daha genel olarak Öklid uzayındaki bir noktadan uzaya gömülü bir dikdörtgenin köşelerine kadar olan mesafeler için de geçerlidir. Daha genel olarak, bir $P$ noktasından paralelkenarın iki karşıt köşesine kadar olan uzaklıkların karelerinin toplamı karşılaştırılırsa, iki toplam genel olarak eşit olmayacak, ancak iki toplamın farkı $P$ noktasının seçimine değil yalnızca paralelkenarın şekline bağlı olacaktır.

Teorem, Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilir. $P$ noktasını dikdörtgenin dört köşesinden herhangi birine yerleştirmek, dikdörtgenin köşegeninin karesini, Pisagor teoremi olan dikdörtgenin genişliğinin ve uzunluğunun karelerinin toplamına eşit olarak verir.

Teoremin ispatı

Kanıt için çizim

Şekilde gösterildiği gibi, $AB$, $BC$, $CD$ ve $AD$ kenarlarıyla sırasıyla $W$, $X$, $Y$ ve $Z$ noktalarında birleşen dik çizgileri $P$ noktasından dikdörtgenin kenarlarına çizin; bu dört nokta $W$, $X$, $Y$ ve $Z$, bir ortodiyagonal dörtgen köşelerini oluşturur. Pisagor teoremini $\triangle AWP$ dik üçgenine uygulayarak ve $WP=AZ$ olduğunu göz önünde bulundurarak,

• $AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}$

bulunur ve benzer bir argüman ile $P$'den diğer üç köşeye olan mesafelerin uzunluklarının kareleri şu şekilde hesaplanabilir:

• $PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2}$,
• $BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2}$ve
• $PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}$.

Bu nedenle:

${\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}$

İsimlendirme

Birleşik Krallık bayrağı.

Bu teorem ismini, $P$'den dikdörtgenin köşelerine doğru olan doğru parçaları çizildiğinde, ispatta kullanılan dikey çizgilerle birlikte, tamamlanan şeklin bir şekilde Birleşik Krallık Bayrağına benzemesinden alır.

Konuyla ilgili yayınlar

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: İngiliz bayrağı teoreminin ilginç bir uygulaması 12 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. . Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Cilt 4 (2015), sayı 1, s. 31-34.
• Martin Gardner, Dana Richards (ed.): Kısa Bulmacalar ve Sorunlar Devasa Kitabı. WW Norton, 2006,978-0-393-06114-7, s. 147, 159 (problem 6.16)
• Carl Joshua Quines, (December 4, 2018), Obscure geometry theorems, Makale 2 Mart 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Ananth Shyamal, Divya Shyamal, Kevin Yang ve Reece Yang, (2020), Iowa City Math Circle Handouts- Quadrilaterals, s. 7, Makale 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

• Geogebra - British flag theorem 26 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Artofproblemsolving.com'da İngiliz Bayrak Teoremi 23 Aralık 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The British Flag Theorem and Viviani’s Theorem
• Microsoft'un Dikdörtgen Köşeler Mülakat Sorusunu Çözebilir misiniz? 17 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (video, 5:41 dk.)
• Genius Tutorials - BRITISH FLAG THEOREM (video, 4:47 dk)