Akım fonksiyonu

Akım Fonksiyonu (veya Akış işlevi), eksen simetrisi ile üç boyutta olduğu kadar iki boyutta sıkıştırılamaz (ıraksama içermeyen) akışlar için tanımlanır. Akış hızı bileşenleri, skaler (sayıl alan) akış fonksiyonunun türevleri olarak ifade edilebilir. Akım fonksiyonu, kararlı akıştaki partiküllerin yörüngelerini gösteren akım çizgileri, çıkış çizgileri ve yörüngeyi çizmek için kullanılabilir. İki boyutlu Lagrange akım fonksiyonu, 1781'de Joseph Louis Lagrange tarafından tanıtıldı. Stokes akım fonksiyonu, eksenel simetrik üç boyutlu akış içindir ve adını George Gabriel Stokes'tan almıştır.

Akış çizgileri – akım fonksiyonunun sabit değerine sahip çizgiler – düzgün akışta dairesel bir silindir etrafındaki sıkıştırılamaz potansiyel akış için

Herhangi iki noktadaki akım fonksiyonu değeri arasındaki fark, aynı iki noktayı birbirine bağlayan hat boyunca var olan hacimsel akış oranını (hacimsel akı) verir.

Akım çizgileri akıştaki hız vektörlerine teğet olduğu için, akım fonksiyonunun değeri akım çizgisi boyunca sabit olmak zorundadır. Akım fonksiyonunun kullanılabilirliği, verilmiş bir noktadaki x- ve y- yönlerindeki hız bileşenleri, bu noktadaki akım fonksiyonunun kısmi türevleri alınarak bulunur gerçeği altında yatar.

İki boyutlu potansiyel akış için akım çizgileri eşpotansiyel çizgilere diktir. Hız potansiyeli ile birlikte alındığında, akım fonksiyonu karmaşık bir potansiyel türetmek için kullanılabilir. Akım fonksiyonu iki veya daha çok boyutlu bir akış için ifade edilebilir. Fakat iki boyutlu durum genellikle hesaplama ve görüntüleme bakımından en kolay olanıdır.

Hız potansiyeli ile birlikte alındığı zaman akım fonksiyonu, potansiyel akışı türetmek için kullanılabilir. Diğer bir deyişle, akım fonksiyonu iki boyutlu Helmholtz dekompozisyonunun selonoidal kısmını ifade ederken, hız potansiyeli ise irrotasyonel (Korunumlu vektör alanı) kısmını ifade eder.

İki Boyutlu Akım Fonksiyonu

Tanımlar

$A$ ve $P$ noktaları arasındaki eğri boyunca hacim akısı

Akım fonksiyonunun simgesi kullanılan tanıma göre değişir.

Bunlardan birisi akım fonksiyonunu $\psi$ iki boyutlu akış için tanımlamaktır:

$\mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}$

${\boldsymbol {\psi }}=(0,0,\psi )$ hız vektörü $\mathbf {u} =(u,v,0)$ durumunda iken

Kartezyen koordinat sistemi'nde aşağıdaki eşitlikteki gibidir

$u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\qquad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

$u$ ve $v$ hızları, sırasıyla, kartezyen koordinatlardaki $x$ ve $y$ yönlerindeki hızlardır.

Alternatif Tanımı

Diğer bir tanımı ise şöyledir (genellikle meteoroloji ve okyanus biliminde kullanılır):

$\mathbf {u} =\mathbf {z} \times \nabla \psi '\equiv (-\psi '_{y},\psi '_{x},0)$,

$\mathbf {z}$, $+z$ yönündeki birim vektördür ve and alt indisler kısmi türevleri belirtir.

Burada kullanılan tanım, yukarıdakine göre ters işarete sahiptir ($\psi '=-\psi$), böylelikle kartezyen koordinatlardaki biçimi şöyledir

$u=-{\frac {\partial \psi '}{\partial y}},\qquad v={\frac {\partial \psi '}{\partial x}}$

İki Boyutlu Akım Fonksiyonunun Türevi

İki boyutlu düz bir akışta A ve B gibi iki farklı nokta farz edin. Eğer bu iki nokta arası uzaklık çok küçükse: δn ve bir akış bu iki noktalar arasında ortalama bir hızla hareket eder. q AB çizgisine diktir. Birim kalınlık başına düşen hacimsel akış oranı δΨ:

$\delta \psi =q\delta n\,$

δn → 0, (δn sıfıra yaklaştıkça) yukarıdaki eşitlik düzenlenirse şunu elde etmiş oluruz:

$q={\frac {\partial \psi }{\partial n}}\,$

Kartezyen Koordinatlardaki Akış

x-y kartezyen koordinat sistemindeki elementer bir alan içindeki akışı incelediğimizde şunu elde ederiz:

$\delta \psi =u\delta y\,$

$\delta \psi =-v\delta x\,$

u hızı x eksenine paralel, v ise y eksenine paralel hızdır. Bu yüzden, δn → 0 yaklaştıkça:

$u={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,$

$v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,$

Polar Koordinatlardaki Akış

r-θ polar koordinat sistemindeki çok küçük bir bölgeyi incelersek:

$\delta \psi =v_{r}(r\delta \theta )\,$

$\delta \psi =-v_{\theta }\delta r\,$

v_r r eksenine paralel radyal hız bileşeni, v_θ ise θ eksenine paralel teğetsel hız vektörüdür. Böylece, δn → 0 gittikçe ve eşitlik yeniden düzenlenince:

$v_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\,$

$v_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\,$

Süreklilik: Türev

Kartezyen koordinatlarda iki boyutlu düz bir akış düşünün. Süreklilik denklemi; elementer bir bölge içinde sıkıştırılamaz bir akış için, çıkan kütle giren kütleye eşittir.

Toplam akış aşağıdaki ifadeyle verilir:

$\delta \psi _{in}=u\delta y+v\delta x.\,$

Kontrol hacmi dışına çıkan toplam akış:

$\delta \psi _{out}=\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x\right)\delta y+\left(v+{\frac {\partial v}{\partial y}}\delta y\right)\delta x.\,$

Böylelikle:

$\delta \psi _{in}=\delta \psi _{out}\,$

$u\delta y+v\delta x\ =\left(u+{\frac {\partial u}{\partial x}}\delta x\right)\delta y+\left(v+{\frac {\partial v}{\partial y}}\delta y\right)\delta x\,$

sadeleştirirsek:

${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0.$

Akım fonksiyonunun tanımı itibarıyla yukarıdaki eşitliği birleştirirsek:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y\partial x}}=0.$ bulmuş oluruz

Kaynakça

• B. S. Massey and J. Ward-Smith, Mechanics of Fluids, 7th ed., Nelson Thornes, UK (1998).
• F. M. White, Fluid Mechanics, 5th ed., McGraw-Hill, New York (2003).
• T. W. Gamelin, Complex Analysis, Springer, New York (2001). ISBN 0-387-95093-1.
• AMS Glossary of Meteorology entry: [1]