Aritmetiğin temel teoremi

Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.

In Disquisitiones Arithmeticae (1801) Gauss benzersiz çarpanlara ayırma teoremini kanıtladı ve ikinci dereceden karşıtlık yasasını kanıtlamak için kullandı.

Örneğin,

$1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot (5\cdot 5)=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=\ldots$

Teorem bu örnekle ilgili iki şey söylüyor: birincisi, 1200 asal sayıların çarpımı olarak temsil edilebilir ve ikincisi, bu nasıl yapılırsa yapılsın her zaman tam olarak dört 2, bir 3 ve iki 5 olacaktır ve sonuç bunların dışında başka asal sayı içermeyecektir.

Çarpanların asal olması gereklidir: bileşik sayıları içeren çarpanlara ayırmalar benzersiz olmayabilir (örneğin, $12=2\cdot 6=3\cdot 4$).

Bu teorem 1'in asal sayı olarak kabul edilmemesinin ana nedenlerinden biridir: eğer 1 asal olsaydı, asal sayılara ayırma benzersiz olmazdı; örneğin, $2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots$

Teorem, bir alan üzerinde benzersiz çarpanlara ayırma alanı olarak adlandırılan ve temel ideal alanları, Öklid alanlarını ve polinom halkalarını içeren diğer cebirsel yapılara genelleştirilir. Ancak teorem cebirsel tamsayılar için geçerli değildir. Benzersiz çarpanlara ayırmadaki bu başarısızlık, Fermat'ın Son Teoremi'nin ispatının zorluğunun nedenlerinden biridir. Cebirsel tamsayı halkalarında benzersiz çarpanlara ayırmanın örtülü kullanımı, Fermat'ın ifadesi ile Wiles'ın kanıtıdır.

Tarihçe

Temel teorem, Öklid'in Elementler'inin Kitap VII, 30, 31 ve 32. önermelerinden ve IX. Kitap, 14. önermesinden türetilebilir.

“	İki sayının çarpımı, bir sayı ile bir asal sayının çarpımına eşit ise, bu asal sayı başlangıçtaki iki sayıdan birinin çarpanıdır.	„
—Öklid, Elementler Kitap VII, Önerme 30

(Modern terminolojide: Eğer bir asal p ab çarpımını bölüyorsa, o zaman p ya ayı ya da byi ya da her ikisini de böler.) Önerme 30'a gönderme yapılır. Öklid lemması olarak ve aritmetiğin temel teoreminin ispatında gereklidir.

“	Herhangi bir bileşik sayı bazı asal sayıların çarpımı ile ifade edilir.	„
—Öklid, Elementler Kitap VII, Önerme 31

(Modern terminolojide: birden büyük her tam sayı bir asal sayıya eşit olarak bölünür.) Önerme 31 doğrudan sonsuz bölünebilme kanıtı ile kanıtlanır.

“	Herhangi bir sayı ya asaldır ya da bir asal sayı ile tam olarak bölünür.	„
—Öklid, Elementler Kitap VII, Önerme 32

Önerme 32, önerme 31'den türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın mümkün olduğunu kanıtlamaktadır.

“	Bir sayı asal sayıların çarpımı olarak ifade edilen en küçük sayı ise herhangi başka bir sayının çarpımı olarak ifade edilmez. Başlangıçtaki çarpanları dışında başka asal ççarpanı yoktur.	„
—Öklid, Elementler Kitap IX, Önerme 14

(Modern terminolojide: birkaç asal sayının en küçük ortak katı herhangi bir başka asal sayının katı değildir.) Kitap IX, önerme 14, Kitap VII, önerme 30'dan türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğunu kısmen kanıtlar. – André Weil. Aslında bu önermede üsler hepsi bire eşit olduğundan genel durum için hiçbir şey söylenmiyor.

Asal çarpanlara ayırmanın varlığına giden yolda ilk adımı Öklid atarken, son adımı ise Kamāl al-Dīn al-Fārisī attı ve aritmetiğin temel teoremini ilk kez belirtti.

Gauss' Disquisitiones Arithmeticae Madde 16'sı, modüler aritmetik kullanan erken modern bir ifade ve kanıttır.

Uygulamalar

Pozitif bir tam sayının kanonik gösterimi

Her pozitif tamsayı n > 1 asal kuvvetlerin çarpımı olarak tam olarak tek bir şekilde temsil edilebilir: $n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},$ burada p₁ < p₂ < ... < p_k asal sayılardır ve n_i pozitif tam sayılardır. Bu gösterim, boş çarpım'ın 1'e eşit olduğu kuralıyla genel olarak 1 dahil tüm pozitif tam sayılara genişletilir (boş çarpım k = 0'a karşılık gelir) .

Bu temsile n'nin kanonik temsili' of n, or the standard form denir.. Örneğin,

999 = 3³×37,

1000 = 2³×5³,

1001 = 7×11×13.

p⁰ = 1 çarpanları, n değeri değiştirilmeden eklenebilir (örneğin, 1000 = 2³×3⁰×5³). Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı, tüm pozitif asal sayıların üzerine alınan bir sonsuz çarpım olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir;

$n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},$

burada sonlu sayıda n_i pozitif tamsayılardır ve diğerleri sıfırdır.

Negatif üslere izin vermek, pozitif rasyonel sayılar için kanonik bir form sağlar.

Aritmetik işlemler

a ve b iki sayısının en büyük ortak bölen (OBEB) ve en küçük ortak kat (EKOK) çarpımının kanonik gösterimleri basitçe şu şekilde ifade edilebilir: a ve bnin kanonik temsilleri:

$a\cdot b=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots =\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},$

$EBOB(a,b)=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots =\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},$ $EKOK(a,b)=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots =\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})},$

Bununla birlikte, özellikle büyük sayıların tamsayı çarpanlara ayırma işlemleri, ürünlerin, EBOB'ların veya EKOK'ların hesaplanmasından çok daha zordur. Dolayısıyla bu formüllerin pratikte kullanımı sınırlıdır.

Aritmetik fonksiyonlar

Birçok aritmetik fonksiyon kanonik gösterim kullanılarak tanımlanır. Özellikle, toplama ve çarpım fonksiyonlarının değerleri, asal sayıların kuvvetleri üzerindeki değerlerine göre belirlenir.

İspat

İspat, Öklid lemmasını (Elementler VII, 30) kullanır: Eğer bir asal sayı iki tam sayının çarpımını bölüyorsa bölüyorsa, bu tam sayılardan en az birini bölmelidir.

Varlık

1'dan büyük her tam sayının ya asal ya da asal sayıların çarpımı olduğu gösterilmelidir. Birincisi, 2 asaldır. Daha sonra, güçlü tümevarım yoluyla, bunun 1'dan büyük ve n'den küçük tüm sayılar için doğru olduğunu varsayalım. Eğer n asalsa kanıtlayacak başka bir şey yoktur. Aksi takdirde, a ve b tamsayıları vardır; burada n = a b ve 1 < a ≤ b < n. Tümevarım hipotezine göre, a = p₁ p₂ ⋅⋅⋅ p' 'j ve b = q₁ q₂ ⋅⋅⋅ qk asal sayıların çarpımlarıdır. Ama sonra n = a b = p₁ p₂ ⋅⋅⋅ pj q₁ q₂ ⋅⋅⋅ q' '_k asal sayıların çarpımıdır.

Benzersizlik

Teoremin tersine, iki farklı asal çarpanlara ayırmaya sahip bir tamsayı olduğunu varsayalım. n böyle bir en küçük tamsayı olsun ve her bir p_i ve q_i asal olduğu n = p₁ p₂ ... p_j = q₁ q₂ ... q_k yazalım. p₁'nin q₁ q₂ ... q_k yi böldüğünü görürüz. Böylece by Öklid'in tezi'ne göre p₁ bazı q_i leri böler. Genelliği kaybetmeden, p₁ q₁ i böler diyelim. p₁ ve q₁ her ikisi de asal olduğundan, böylece p₁ = q₁ olur. n'yi çarpanlara ayırmamıza dönersek, p₂ ... p_j = q₂ ... q_k gerçekleşmesi için bu iki çarpanı sadeleştirebiliriz. Böylece elimizde kesin olarak n'den küçük iki asal tamsayı çarpan var ve bu da n'nin küçüklüğü ile çelişiyor.

Öklid'in tezi olmadan benzersizlik

Aritmetiğin temel teoremi, Öklid tezi kullanılmadan da kanıtlanabilir. Aşağıdaki kanıt, Öklid'in Öklid algoritması orijinal versiyonundan esinlenmiştir.

$s$'in asal sayıların iki farklı çarpımı olan en küçük pozitif tamsayı olduğunu varsayalım. Bu, eğer varsa, $s$'in $1$'den büyük bileşik sayı olduğu anlamına gelir.

Böylece,

${\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}$

yazılabilir.

Her $p_{i}$ $q_{j}$'den farklı olmalıdır. Aksi takdirde, eğer $p_{i}=q_{j}$ dersek, $s$'den küçük bazı pozitif $t=s/p_{i}=s/q_{j}$ tamsayı çarpanları olacaktır. Gerektiğinde iki çarpan değiştirilerek $p_{1}<q_{1}$ olduğu da varsayılabilir.

$P=p_{2}\cdots p_{m}$ ve $Q=q_{2}\cdots q_{n},$ olarak ve $s=p_{1}P=q_{1}Q.$ olarak, ayrıca, $p_{1}<q_{1},$ olduğundan $Q<P.$ olarak seçilir ve takiben

$s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(P-Q)<s.$ elde edilir. $s$'den küçük pozitif tamsayıların benzersiz bir asal çarpanlara ayırmaya sahip olduğu varsayıldığından, $p_{1}$, $q_{1}-p_{1}$'in ya da $Q$'nun çarpanları arasında yer almalıdır. $Q$ $s$'den küçük olduğundan, benzersiz asal çarpanlara sahip olmalıdır ve her için $q_{j}$ için $p_{1}$ farklı olduğundan ikinci durum mümkün değildir. Eğer $p_{1}$, $q_{1}-p_{1}$'in böleni ise, $q_{1},$'in de böleni olacağından $p_{1}$ ve $q_{1}$ farklı asal sayılar olacağından ilk durum da mümkün değildir.

Böylece, tek bir farklı asal çarpanlara ayırmadan daha fazlasına sahip en küçük bir tam sayı olamaz. Her pozitif tamsayı ya benzersiz bir şekilde çarpanlara ayrılacak bir asal sayı ya da asal sayıları benzersiz bir şekilde çarpanlara ayıran bir bileşik ya da $1$ tamsayısı durumunda herhangi bir asal çarpanı olmayan bir bileşik olmalıdır.

Genellemeler

Teoremin ilk genellemesi Gauss'un dördüncü dereceden karşıtlık üzerine ikinci monografisinde (1832) bulunur. Bu makale, şimdi Gauss tamsayı'larının halka olarak adlandırılan tüm karmaşık sayı'lar a + bi kümesini tanıttı; burada a ve b tam sayılardır. Artık $\mathbb {Z} [i]$ ile gösterilmiştir. Bu halkanın sıfırdan farklı ±1 ve ±i dört birimine sahip olduğunu, birim olmayan sayıların asal sayılar ve bileşik sayılar olmak üzere iki sınıfa ayrıldığını ve bileşik sayılarrın asal sayıların bir ürünü olarak benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu gösterdi.

Benzer şekilde, 1844'te kübik karşıtlık üzerinde çalışırken, Eisenstein $\mathbb {Z} [\omega ]$ halkasını tanıttı; burada ${\textstyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},}$   $\omega ^{3}=1$ birliğin (küp)köküdür. Bu, Eisenstein tamsayılarının halkasıdır ve kendisi bunun altı birimi $\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}$ olduğunu ve benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu kanıtladı.

Ancak benzersiz çarpanlara ayırmanın her zaman geçerli olmadığı da keşfedildi. Örnek olarak $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ verilmiştir. Bu halkada

$6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).$

vardır.

Bunun gibi örnekler "asal" kavramının değişmesine neden oldu. $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$'de yukarıdaki faktörlerden herhangi birinin bir çarpım olarak temsil edilebilmesi durumunda kanıtlanabilir, örneğin 2 = ab ise a veya bden biri bir birim olmalıdır.Bu, "asal"ın geleneksel tanımıdır. Bu faktörlerin hiçbirinin Öklid tezine uymadığı da kanıtlanabilir; örneğin 2, çarpımları 6'yı bölmesine rağmen ne (1 + √−5) ne de (1 − √−5)'ı bölmez. Cebirsel sayılar teorisinde 2 $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$'de indirgenemez olarak adlandırılır (kendisine ve birim sayıya bölünebilir) ancak asal değildir (çarpımı bölüyorsa çarpanlardan birini de bölmelidir). $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$'in belirtilmesi gereklidir çünkü 2 asaldır ve $\mathbb {Z}$'de indirgenemezdir. Bu tanımları kullanarak bir asal sayının indirgenemez olduğu kanıtlanabilir. Öklid'in klasik tezi "$\mathbb {Z}$ tamsayılar halkasında her indirgenemez asaldır" şeklinde yeniden ifade edilebilir. Bu aynı zamanda $\mathbb {Z} [i]$ ve $\mathbb {Z} [\omega ]$ için de doğrudur ancak $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ için geçerli değildir.

İndirgenemezler çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğu yerlerde halkalara benzersiz çarpanlara ayırma alanı denir. Önemli örnekler, tamsayılar üzerindeki veya bir alan üzerindeki polinom halka'ları, Öklid alan'ları ve temel ideal alan'larıdır.

1843 yılında Kummer ideal sayı kavramını ortaya attı, bu kavram Dedekind tarafından 1876'da, halkaların özel bir alt alanı olan modern idealler teorisine geliştirildi. Burada idealler için çarpma tanımlanır ve bunların benzersiz çarpanlara ayrıldığı halkalara Dedekind alanları adı verilir.

sıra sayıları için benzersiz çarpanlara ayırmanın bir versiyonu vardır, ancak benzersizliği sağlamak için bazı ek koşullar gerektirir.

Ayrıca bakınız

• Asal çarpanlara ayırma
• Asal çarpanlar

Kaynakça

Disquisitiones Arithmeticae Latinceden İngilizce ve Almancaya çevrildi. Almanca baskısı sayı teorisi üzerine tüm makalelerini içerir: ikinci dereceden karşıtlığın tüm kanıtları, Gauss toplamının işaretinin belirlenmesi, iki ikinci dereceden karşılıklılık üzerine araştırmalar ve yayınlanmamış notlar.

• Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), Clarke, Arthur A. tarafından çevrildi, New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2 
• Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition) (Almanca), Maser, H. tarafından çevrildi, New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 

Gauss'un iki ikinci dereceden karşılıklılık üzerine yayınladığı iki monografinin bölümleri ardışık olarak numaralandırılmıştır: ilki §§ 1-23'ü ve ikincisi §§ 24-76'yı içerir. Bunlara atıfta bulunan dipnotlar "Gauss, BQ, § n" biçimindedir. Disquisitiones Arithmeticae'ye atıfta bulunan dipnotlar "Gauss, DA, Art. n" biçimindedir.

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6 
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7 

Bunlar Gauss'un Werke, Cilt II, s.65–92 ve 93–148'inde; Almanca çeviriler Disquisitiones'ın Almanca baskısının s.511–533 ve 534–586 sayfalarındadır.

• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged bas.), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5 
• Şablon:Hardy and Wright
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2. bas.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950 .
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 .
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5 
• Weil, André (2007) [1984], Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6 

External links

• Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
• GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
• PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
• Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
• "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Grime, James, "1 and Prime Numbers", Numberphile, Brady Haran, 11 Aralık 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi