Batlamyus eşitsizliği

Öklid geometrisinde, Batlamyus eşitsizliği, düzlemde veya daha yüksek boyutlu bir uzayda dört nokta tarafından oluşturulan altı uzunluğu ilişkilendirir. Herhangi bir $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ noktası için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu belirtir:

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}

.

Adını Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'tan almıştır.

Dört nokta, her biri için zıt kenarların çarpımlarının toplamı en az köşegenlerin çarpımı kadar büyük olan üç farklı dörtgen oluşturmak için üç farklı yoldan herhangi biriyle (ters dönüşleri farklı saymayarak) sıralanabilir. Böylece, eşitsizlikteki üç çarpım terimi, bunlardan herhangi birini eşitsizliğin sağ tarafına yerleştirmek için ek olarak değiş tokuş edilebilir, bu nedenle, dörtgenlerden herhangi birinin zıt kenarlarının veya köşegenlerinin üç çarpımı, üçgen eşitsizliğine uymalıdır.^[1]

Özel bir durum olarak, Batlamyus teoremi, eşitsizliğin bir daire üzerinde dört nokta döngüsel sırayla (kirişler dörtgeni) yer aldığında bir eşitlik haline geldiğini belirtir. Diğer eşitlik durumu, dört nokta sırayla eşdoğrusal olduğunda ortaya çıkar. Eşitsizlik, Öklid uzaylarından keyfi metrik uzaylara genellenmez. Geçerli kaldığı uzaylara Ptolemaik uzaylar denir; iç çarpım uzaylarını, Hadamard uzaylarını ve Ptolemaik graflarda en kısa yol uzaklıklarını içerir.

Varsayımlar ve türetme

Batlamyus eşitsizliği genellikle özel bir durum için ifade edilir, burada dört nokta konveks bir dörtgenin köşeleri olup döngüsel sırayla verilir.^[2]^[3] Ancak teorem daha genel olarak herhangi bir dört nokta için geçerlidir; oluşturdukları dörtgenin dışbükey, basit veya hatta düzlemsel olması gerekli değildir.

Düzlemdeki noktalar için, Batlamyus eşitsizliği, dört noktadan birinde merkezlenmiş bir evirtim (inversiyon) ile üçgen eşitsizliğinden türetilebilir.^[4] Alternatif olarak, karmaşık sayı özdeşliği kullanılarak dört noktanın karmaşık sayılar olarak yorumlanmasıyla

(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)

kenar uzunlukları verilen dörtgenin kenarlarının çarpımı olan bir üçgen oluşturmak ve üçgen eşitsizliğini bu üçgene uygulamak için türetilebilir.^[5] Noktaların karmaşık izdüşüm çizgisine ait olduğu da görülebilir, eşitsizliği noktaların iki çapraz oranının mutlak değerlerinin toplamı en az bir şeklinde ifade edilebilir ve bunu çapraz oranların kendilerinin tam olarak bir ilavesi olduğu gerçeğinden çıkarılabilir.^[6]

Üç boyutlu uzayda noktalar için eşitsizliğin bir kanıtı, düzlemsel duruma indirgenebilir, herhangi bir düzlemsel olmayan dörtgen için, köşegen etrafındaki noktalardan birini dörtgen düzlemsel hale gelene kadar döndürmenin mümkün olduğunu gözlemleyip diğer köşegenin uzunluğu artırarak ve diğer beş uzunluğu sabit tutarak, düzlemsel duruma indirgenebilir.^[5] Üçten daha yüksek boyutlu uzaylarda, herhangi bir dört nokta üç boyutlu bir alt uzayda bulunur ve aynı üç boyutlu ispat kullanılabilir.

Aynı çember içinde bulunan dört nokta

Bir çember etrafında sıralanan dört nokta için, Batlamyus eşitsizliği, Batlamyus teoremi olarak bilinen bir eşitlik haline gelir:

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}

.

Batlamyus eşitsizliğinin evirtime dayalı ispatında, dört eşdöngü noktasını, birine merkezlenmiş bir evirtim ile dönüştürmek, diğer üçünün eşdoğrusal olmasına neden olur, bu nedenle bu üç nokta için üçgen eşitliği (Batlamyus eşitsizliğinin türetilebileceği) eşitlik olur.^[4] Diğer dört nokta için, Batlamyus eşitsizliği mutlaktır.

Genel metrik uzaylarda

Uzaklıkların Batlamyus eşitsizliğine uymadığı bir döngü çizgesi

Batlamyus eşitsizliği daha genel olarak herhangi bir iç çarpım uzayında^[1] geçerlidir ve gerçek bir normlu vektör uzayı için doğru olduğunda, bu uzay bir iç çarpım uzayı olmalıdır.^[7]^[8]

Diğer metrik uzay türleri için eşitsizlik geçerli olabilir veya olmayabilir. İçinde bulunduğu uzaya Ptolemaik denir. Örneğin, tüm kenar uzunlukları 1'e eşit olacak biçimde şekilde gösterilen dört köşe döngü çizgesini düşünün. Karşıt tarafların çarpımlarının toplamı 2'dir. Bununla birlikte, çapraz olarak zıt köşeler birbirinden uzaktadır, bu nedenle köşegenlerin çarpımı 4'tür ve kenarların çarpımlarının toplamından daha büyüktür. Bu nedenle, bu grafikteki en kısa yol mesafeleri Ptolemaik değildir. Uzaklıkların Batlamyus eşitsizliğine uyduğu çizgeler, Ptolemaik çizgeler olarak adlandırılır ve keyfi çizgelerle karşılaştırıldığında sınırlı bir yapıya sahiptir; özellikle, gösterilen gibi üçten daha uzun indirgenmiş döngülere izin vermezler.^[9]

Ptolemaik uzaylar tüm CAT (0) uzaylarını ve özellikle tüm Hadamard uzaylarını içerir. Tam bir Riemann manifoldu Ptolemaik ise, bu mutlaka bir Hadamard uzayıdır.^[10]

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

"Ptolemy's Inequality". artofproblemsolving.com. 31 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
"Ptolemy Inequality". Wolfram MathWorld. 27 Haziran 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
"Proof of Ptolemy's inequality". PlanetMath. 6 Mart 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.
"Ptolemy's Theorem". cut-the-knot.org. 7 Kasım 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.

Konuyla ilgili yayınlar

M. S. Klamkin & A. Meir (1982), "Ptolemy's inequality, chordal metric, multiplicative metric.", Pacific J. Math., 101 (2), ss. 389-392
Smith, J. D. (1996), "Ptolemaic inequalities", Geom Dedicata, cilt 61, ss. 181-190, doi:10.1007/BF00151582
Nguyen Ngoc Giang (2013), Ptolemy’s Inequality (PDF), 20 Kasım 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi
Claudi Alsina & Roger B. Nelsen (2014), "Proof Without Words: Ptolemy's Inequality", Mathematics Magazine, 87 (4), s. 291, doi:10.4169/math.mag.87.4.291
Gangsong Leng (2015), "Chapter 2: Ptolemy's inequality and its application", Geometric Inequalities, Mathematical Olympiad Series, China: Shanghai University, ss. 12-21, doi:10.1142/9789814696494_0002
Qi Zhu (2016), An Introduction to Ptolemy's Theorem (PDF), 2 Aralık 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi
Ioannis D. PLATIS & Nilgün SÖNMEZ (2017), "The Ptolemaean inequality in the closure of complex hyperbolic planes" (PDF), Turkish Journal of Mathematics, cilt 41, ss. 1108-1120, doi:10.3906/mat-1604-6, 4 Haziran 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi
Thomas Foertsch, Alexander Lytchak & Viktor Schroeder, Non-Positive Curvature and the Ptolemy Inequality (PDF), 16 Kasım 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi

Kaynakça

^ ^a ^b Schoenberg, I. J. (1940), "On metric arcs of vanishing Menger curvature", Annals of Mathematics, Second Series, cilt 41, ss. 715-726, doi:10.2307/1968849, MR 0002903 .
^ Steele, J. Michael (2004), "Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)", The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, s. 69, ISBN 9780521546775 .
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), "6.1 Ptolemy's inequality", When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, ss. 82-83, ISBN 9780883853429 .
^ ^a ^b Stankova, Zvezdelina; Rike, Tom, (Ed.) (2008), "Problem 7 (Ptolemy's Inequality)", A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, MSRI Mathematical Circles Library, 1, American Mathematical Society, s. 18, ISBN 9780821846834 .
^ ^a ^b Apostol, Tom M. (1967), "Ptolemy's inequality and the chordal metric", Mathematics Magazine, cilt 40, ss. 233-235, MR 0225213 .
^ Silvester, John R. (2001), "Proposition 9.10 (Ptolemy's theorem)", Geometry: Ancient and Modern, Oxford University Press, s. 229, ISBN 9780198508250 .
^ Giles, J. R. (2000), "Exercise 12", Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathematical Society lecture series, 13, Cambridge University Press, s. 47, ISBN 9780521653756 .
^ Schoenberg, I. J. (1952), "A remark on M. M. Day's characterization of inner-product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal", Proceedings of the American Mathematical Society, cilt 3, ss. 961-964, doi:10.2307/2031742, MR 0052035 .
^ Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs", Journal of Graph Theory, 5 (3), ss. 323-331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR 0625074
^ Buckley, S. M.; Falk, K.; Wraith, D. J. (2009), "Ptolemaic spaces and CAT(0)", Glasgow Mathematical Journal, 51 (2), ss. 301-314, doi:10.1017/S0017089509004984, MR 2500753 .

[s40-1] Schoenberg, I. J. (1940), "On metric arcs of vanishing Menger curvature", Annals of Mathematics, Second Series, cilt 41, ss. 715-726, doi:10.2307/1968849, MR 0002903 .

[2] Steele, J. Michael (2004), "Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)", The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, s. 69, ISBN 9780521546775 .

[3] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), "6.1 Ptolemy's inequality", When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, ss. 82-83, ISBN 9780883853429 .

[bmc-4] Stankova, Zvezdelina; Rike, Tom, (Ed.) (2008), "Problem 7 (Ptolemy's Inequality)", A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, MSRI Mathematical Circles Library, 1, American Mathematical Society, s. 18, ISBN 9780821846834 .

[apostol-5] Apostol, Tom M. (1967), "Ptolemy's inequality and the chordal metric", Mathematics Magazine, cilt 40, ss. 233-235, MR 0225213 .

[6] Silvester, John R. (2001), "Proposition 9.10 (Ptolemy's theorem)", Geometry: Ancient and Modern, Oxford University Press, s. 229, ISBN 9780198508250 .

[nls-7] Giles, J. R. (2000), "Exercise 12", Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathematical Society lecture series, 13, Cambridge University Press, s. 47, ISBN 9780521653756 .

[8] Schoenberg, I. J. (1952), "A remark on M. M. Day's characterization of inner-product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal", Proceedings of the American Mathematical Society, cilt 3, ss. 961-964, doi:10.2307/2031742, MR 0052035 .

[9] Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs", Journal of Graph Theory, 5 (3), ss. 323-331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR 0625074

[10] Buckley, S. M.; Falk, K.; Wraith, D. J. (2009), "Ptolemaic spaces and CAT(0)", Glasgow Mathematical Journal, 51 (2), ss. 301-314, doi:10.1017/S0017089509004984, MR 2500753 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]