Batlamyus kirişler tablosu

MS 2. yüzyılda Mısır'da Yunan astronom, coğrafyacı ve jeolog Batlamyus tarafından oluşturulan kirişler tablosu, matematiksel astronomi üzerine bir inceleme olan Batlamyus'un Almagest adlı eserinin Kitap I, bölüm 11'inde^[1] yer alan bir trigonometrik tablodur. Esasen sinüs fonksiyonunun değer tablosuna eşdeğerdir. Astronomi de dahil olmak üzere birçok pratik amaç için yeterince kapsamlı olan en eski trigonometrik tablodur (Hipparchus tarafından hazırlanan daha eski bir kiriş tablosu yalnızca 7 1/2° = $π$ /24 radyanın katları olan yaylar için kirişler vermiştir).^[2] 8. ve 9. yüzyıllardan beri sinüs ve diğer trigonometrik fonksiyonlar, İslam matematiği ve astronomisinde kullanılmış ve sinüs tablolarının üretiminde reformlar yapılmıştır.^[3] Daha sonra Muhammed ibn Musa el-Harezmi ve Habeş el-Hâsib bir dizi trigonometrik tablo üretmiştir.

Kiriş fonksiyonu ve tablo

Örnek: Bir (10912)° yayını kesen kirişin uzunluğu yaklaşık 98'dir.

Bir çemberin kirşi, uç noktaları çember üzerinde olan bir doğru parçasıdır. Batlamyus, çapı 120 parça olan bir çember kullanmıştır. Uç noktaları n derecelik bir yay ile ayrılan bir kirişin uzunluğunu, 1/2 ile 180 arasında değişen n için 1/2'lik artışlarla tablolaştırmıştır. Modern gösterimde, θ derecelik bir yaya karşılık gelen kirişin uzunluğu:

{\begin{aligned}&{\text{kiriş}}(\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radyan}}\right)\right).\end{aligned}}

θ 0'dan 180'e giderken, bir θ ° yayının kirişi 0'dan 120'ye gider. Küçük yaylar için kiriş, $π$ 'nin 3'e olduğu gibi derece cinsinden yay açısına eşittir veya daha doğrusu, θ yeterince küçük yapılarak oran $π$ /3 ≈ 1,04719755'e istenildiği kadar yakın hale getirilebilir. Böylece, 1/2° yayı için, kiriş uzunluğu derece cinsinden yay açısından biraz daha fazladır. Yay arttıkça, kirişin yaya oranı azalır. Yay 60° değerine ulaştığında, kiriş uzunluğu tam olarak yaydaki derece sayısına eşit olur, yani kiriş 60° = 60. 60°'den fazla yaylar için, kiriş sadece 120 olduğunda 180°'lik bir yaya ulaşılana kadar kiriş yaydan daha azdır.

Kiriş uzunluklarının kesirli kısımları sexagesimal (taban 60) rakamlarıyla ifade edilmiştir. Örneğin, 112°'lik bir yay tarafından kesilen bir kirişin uzunluğu 99,29,5 olarak bildirildiğinde, uzunluğu;

99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99,4847{\overline {2}},

en yakın 1/60²'a yuvarlanır.^[1]

Yay ve kiriş sütunlarından sonra üçüncü bir sütun "altmışlık" olarak etiketlenir. Bir θ° yayı için, "altmışlık" sütunundaki giriş şöyledir:

{\frac {{\text{kiriş}}\left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-{\text{kiriş}}\left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.

Bu, θ° girişi ile (θ + 1/2)° girişi arasında, açı her bir yay dakikası arttığında kirişe (θ°) eklenmesi gereken sayı, bir birimin ortalama altmışta biri kadardır. Böylece doğrusal interpolasyon için kullanılır. Glowatzki ve Göttsche, Batlamyus'un “altmışlık” sütununda bulunan doğruluk derecesine ulaşmak için kirişleri beş seksagesimal basamağa kadar hesaplamış olması gerektiğini göstermiştir.^[4]^[5]

{\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{yay}}^{\circ }&{\text{kiriş}}&&&{\text{altmışlık}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}

Batlamyus kirişleri nasıl hesapladı

Almagest'in I. Kitabının 10. Bölümü, kirişleri hesaplamak için kullanılan geometrik teoremleri sunar. Batlamyus, 72° ve 36° kirişlerini bulmak için Öklid'in Elementleri'nin Kitap XIII'ünün Önerme 10'una dayanan geometrik akıl yürütmeyi kullanmıştır. Bu önermesi, bir çember içine eşkenar bir beşgen yerleştirilirse, beşgenin kenarındaki karenin alanının, aynı çember içine yerleştirilmiş altıgen ve ongen kenarlarındaki karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

Bir çemberin içine yerleştirilmiş dörtgenler üzerine Batlamyus teoremini kullanarak yarım yay, iki yayın toplamı ve iki yayın farkı için formüller türetmiştir. Teorem, bir çember içine yerleştirilmiş bir dörtgen için, köşegenlerin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların uzunluklarının iki çiftinin çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir. Trigonometrik özdeşliklerin türetilmesinde, bir kenarı dairenin çapı olan bir kirişler dörtgenini temel alınır.

1° ve 1/2°'lik yayların kirişlerini bulmak için Aristarchus eşitsizliğine dayanan yaklaşımları kullandı. Bu eşitsizlik, α ve β yayları için, eğer 0 < β < α < 90° ise, o zaman

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.

Batlamyus, 1° ve 1/2°'lik yaylar için, yaklaşımların tam sayı kısmından sonraki ilk iki seksagesimal basamağı doğru olarak verdiğini göstermiştir.

Doğruluk

Gerald J. Toomer, Almagest'in çevirisinde, bazı el yazmalarında bir "basamak" (bir harf, aşağıya bakınız) değiştirilerek yazım hatalarının yapıldığı yedi giriş vermektedir. Glenn Elert, Batlamyus'un değerleri ile gerçek değerler (açının yarısının sinüsünün 120 katı) arasında bir karşılaştırma yapmış ve karekök ortalama hatasının 0,000136 olduğunu bulmuştur. Ancak bunun büyük bir kısmı en yakın 1/3600'e yuvarlamadan kaynaklanmaktadır, çünkü bu 0,0002777'ye eşittir... Bununla birlikte, son basamağın en iyi yuvarlanmış değerden 1 (çok yüksek veya çok düşük) eksik olduğu birçok giriş vardır. Batlamyus'un değerleri genellikle son yerde 1 fazla yüksektir ve daha yüksek açılara doğru daha da fazladır. En büyük hatalar, yaklaşık 0,0004'tür ve bu da son sexagesimal basamakta yalnızca 1'lik bir hataya karşılık gelir.^[6]

Rakam sistemi ve çevrilmemiş tablonun görünümü

Çember yaylarının derece cinsinden uzunlukları ve kiriş uzunluklarının tam sayı kısımları, 10 tabanı ile ifade edilmiştir. Aşağıdaki tabloda anlamları verilen Yunan alfabesi harflerinden 21'ini ve 1/2 anlamına gelen "∠′ " sembolünü ve boş bir alanı dolduran (etkili bir şekilde sıfırı temsil eden) yükseltilmiş bir çember "○" kullanan sayı sistemi. Aşağıdaki tabloda "arkaik" olarak etiketlenen harflerden üçü, Almagest yazılmadan birkaç yüzyıl önce Yunan dilinde kullanılmıyordu, ancak rakamlar ve müzik notaları olarak hala kullanılıyordu.

{\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (arkaik)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (arkaik)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (arkaik)} &900\\\hline \end{array}}

Böylece, örneğin, 143 1/2°'lik bir yay ρμγ∠′ olarak ifade edilir. (Tablo sadece 180°'ye ulaştığından, 200 ve üzeri için Yunan rakamları kullanılmamıştır).

Kiriş uzunluklarının kesirli kısımları büyük doğruluk gerektiriyordu ve tablodaki iki sütunda sexagesimal gösteriminde veriliyordu: İlk sütun 0-59 aralığında 1/60'ın tam sayı katını, ikincisi ise yine 0-59 aralığında 1/60² = 1/3600'in tam sayı katını verir.

Böylece Heiberg'in Almagest'in 48-63. sayfalarındaki kirişler tablosuyla birlikte basımı, 1/2°’den 7 1/2°'ye kadar olan yaylara karşılık gelen tablonun başlangıcı şöyle görünür:

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}

Tablonun ilerleyen kısımlarında, yay ve kiriş uzunluğunun tam sayı kısımlarını ifade eden rakamların 10 tabanı doğası görülebilir. Böylece 85°'lik bir yay πε ( 80 için π ve 5 için ε) olarak yazılır ve 60 + 25'e bölünmez. Karşılık gelen kiriş uzunluğu 81 artı kesirli bir kısımdır. Tam sayı kısmı πα ile başlar, aynı şekilde 60 + 21'e bölünmez. Ancak kesirli kısım, 4/60 + 15/60², 1/60 sütununda 4 için δ, ardından 1/60² sütununda 15 için ιε olarak yazılır.

{\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\nu }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{`}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa \mathrm {o} \sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}

Tablo, sekiz sayfanın her birinde 45 satır olmak üzere toplam 360 satırdan oluşmaktadır.

Ayrıca bakınız

Aryabhata sinüs tablosu
Ekssekant
Fundamentum Astronomiae, sinüslerin hassas hesaplanması için bir algoritma ortaya koyan bir kitap, 1500'lerin sonunda yayımlandı.
Yunan matematiği
Madhava sinüs tablosu
Batlamyus
Kirişler ölçeği
Versinüs

Kaynakça

^ ^a ^b Toomer, G. J. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN 0-691-00260-6
^ Hugh Thurston (1996), Early Astronomy, Springer Science & Business Media, ss. 235-236, ISBN 9780387948225
^ Berggren, J.L. (2016). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (İngilizce). doi:10.1007/978-1-4939-3780-6. ISBN 978-1-4939-3778-3.
^ Toomer's translation of the Almaagest,1984, footnote 68, pages 57-59.
^ Ernst Glowatzki and Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet., München, 1976.
^ Glenn Elert. "Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century: How accurate is the Table of Chords?". E-World. Hypertextbook.com. Elert “Tablo üç ondalık basamağa kadar doğrudur - makalenin ana gövdesinde belirttiğim beş veya altı değil” demektedir, ancak aslında “beş veya altı” ondalık basamak (ondalık noktadan sonra) 120 kat daha küçük olan $\sin(\theta /2)$ içindir.

Konuyla ilgili okumalar

Aaboe, Asger (1997), Episodes from the Early History of Mathematics, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-613-0
Clagett, Marshall (2002), Greek Science in Antiquity, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-8369-2150-2
Neugebauer, Otto (1975), A History of Ancient Mathematical Astronomy, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06995-1
Olaf Pedersen (1974) A Survey of the Almagest, Odense University Press 87-7492-087-1
Thurston, Hugh (1996), Early Astronomy, Springer, ISBN 978-0-387-94822-5

Dış bağlantılar

J. L. Heiberg Almagest, Table of chords on pages 48–63.
Glenn Elert Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century
Almageste in Greek and French, at the internet archive.

[toomer-1] Toomer, G. J. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN 0-691-00260-6

[2] Hugh Thurston (1996), Early Astronomy, Springer Science & Business Media, ss. 235-236, ISBN 9780387948225

[3] Berggren, J.L. (2016). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (İngilizce). doi:10.1007/978-1-4939-3780-6. ISBN 978-1-4939-3778-3.

[Toomer-4] Toomer's translation of the Almaagest,1984, footnote 68, pages 57-59.

[5] Ernst Glowatzki and Helmut Göttsche, Die Sehnentafel des Klaudios Ptolemaios. Nach den historischen Formelplänen neuberechnet., München, 1976.

[6] Glenn Elert. "Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century: How accurate is the Table of Chords?". E-World. Hypertextbook.com. Elert “Tablo üç ondalık basamağa kadar doğrudur - makalenin ana gövdesinde belirttiğim beş veya altı değil” demektedir, ancak aslında “beş veya altı” ondalık basamak (ondalık noktadan sonra) 120 kat daha küçük olan $\sin(\theta /2)$ içindir.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]