Bergman-Weil formülü

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Bergman-Weil formülü, çok değişkenli holomorf fonksiyonların integral temsillerinden biridir. Bergman-Weil formülü aynı zamanda Cauchy integral formülünü birde fazla karmaşık boyuta genelleştirir. Stefan Bergman^[1] ve André Weil^[2] tarafından literatüre sokulmuştur.

İfadesi

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ de bir bölge, $P$ ise $\Omega$ üzerinde tanımlı holomorf $f_{1},f_{2},\cdots f_{n}$ fonksiyonları tarafından ( $\Omega$ içinde göreceli tıkız kalacak şekilde) tanımlanmış analtik çokyüzlü olsun. O halde, Hefer teoremi sayesinde $\Omega \times \Omega$ üzerinde holomorf olacak şekilde $g_{jk}$ fonksiyonları vardır öyle ki

f_{j}(z)-f_{j}(w)=\sum _{k=1}^{n}(z_{k}-w_{k})g_{jk}(w,z)

tüm $z,w\in \Omega$ için yazılabilir.

${\overline {\Omega }}$ üstünde sürekli ve $\Omega$ içinde holomorf olan bir $f$ fonksiyonu olsun. O zaman,

f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum \int {\frac {f(w)\det(g_{jk_{l}})}{\prod _{l=1}^{n}(f_{k_{l}}(w)-f_{k_{l}}(z))}}dw

olur. Burada, toplam $k_{1}<\cdots <k_{n}$ üzerinden, integral de n-boyutlu yüzeylerde (integral yönü uygun olacak şekilde) alınmaktadır. $dw$ ise $dw_{1}\wedge \cdots dw_{n}$ olarak tanıımlıdır. Bu integral temsilinde determinantı tanımlı kılmak için ek şartlar getirmek gerekebilir.