Bergman-Weil formülü

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Bergman-Weil formülü, çok değişkenli holomorfik fonksiyonların integral temsillerinden biridir. Bergman-Weil formülü aynı zamanda Cauchy integral formülünü birde fazla karmaşık boyuta genelleştiren integral temsillerinden biridir. Stefan Bergman ve André Weil tarafından literatüre sokulmuştur.

İfadesi

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$de bir bölge, $P$ ise $\Omega$ üzerinde tanımlı holomorf $f_{1},f_{2},\cdots f_{n}$ fonksiyonları tarafından ($\Omega$ içinde göreceli tıkız kalacak şekilde) tanımlanmış analtik çokyüzlü olsun. O halde, Hefer teoremi sayesinde $\Omega \times \Omega$ üzerinde holomorf olacak şekilde $g_{jk}$ fonksiyonları vardır öyle ki

$f_{j}(z)-f_{j}(w)=\sum _{k=1}^{n}(z_{k}-w_{k})g_{jk}(w,z)$

$z,w\in \Omega$ için yazılabilir.

${\overline {\Omega }}$ üstünde sürekli ve $\Omega$ üzerinde holomorf olan bir $f$ fonksiyonu olsun. O zaman,

$f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\sum \int {\frac {f(w)\det(g_{jk_{l}})}{\prod _{l=1}^{n}(f_{k_{l}}(w)-f_{k_{l}}(z))}}dw$

olur. Burada, toplam $k_{1}<\cdots <k_{n}$ üzerinden, integral de n-boyutlu yüzeylerde (integral yönü uygun olacak şekilde) alınmaktadır. $dw$ ise $dw_{1}\wedge \cdots dw_{n}$ olarak tanıımlıdır. Bu integral temsilinde determinantı tanımlı kılmak için ek şartlar getirmek gerekebilir.

Kaynaklar

• Bergmann, S. (1936), "Über eine Integraldarstellung von Funktionen zweier komplexer Veränderlichen", Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik), New Series (Almanca), 1 (43) (6), ss. 851-862, JFM 62.1220.04, Zbl 0016.17001 .
• Weil, André (1935), "L'intégrale de Cauchy et les fonctions de plusieurs variables", Mathematische Annalen, 111 (1), ss. 178-182, doi:10.1007/BF01472212, ISSN 0025-5831, JFM 61.0371.03, MR 1512987, Zbl 0011.12301 .

Dış bağlantılar

• Encyclopedia of Mathematics sitesinde Evgenii Mikhailovich Chirka tarafından yazılmış "Bergman-Weil temsili" sayfası