Çok değişkenli karmaşık analiz

Matematikte, karmaşık koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$ de tanımlı fonksiyonların teorisine; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine çok değişkenli karmaşık analiz denir.

Alanın ismi, Türkçe'deki ve daha birçok gelişmiş dildeki sayma sistemlerinde birden fazla anlamına gelen bir kelimenin bulunmamasından dolayı ilk okunduğunda garip bir anlaşılmazlık yaratır. Aslında, yazılmak istenen Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi ifadesidir. Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine yönelik en erken çalışmalar genellikle Almanca yazılmış makalelerde iki veya hesaplama yapmanın kolay olduğu birkaç karmaşık değişkenli durumda rastlanır. Bu sebeple Almanca Mehreren komplexen Variablen ifadesinin kullanımı yayılmış, bu alanda araştırmalara öncülük yapmış diğer bilim dilleri olan Fransızca'ya plusieurs variables complexes, İngilizce'ye de Several Complex Variables olarak yansımıştır. Yine bu alandaki öncü makalelerden olan Eugino Levi'nin İtalyanca makalesi de iki veya daha fazla karmaşık değişkenli fonksiyonlar tabirini kullanmıştır.

20. yüzyılın başlarında hızlanmaya başlayan araştırmalar ve tek değişkenli karmaşık analizden farklılık göstermeye başlayan sonuçlar elde edilmesiyle beraber, bu alanda daha önceden beri çalışılagelen düşük boyutlu karmaşık koordinat uzaylarındaki tanımlı fonksiyonlar yerlerini, $n$ birden fazla herhangi bir tamsayı olacak şekilde, $n$ boyutlu karmaşık uzaylarda tanımlı fonksiyonlara bırakmaya başlamıştır. Aslında, demek istenen ne birkaç ne de çok sözüdür. Sadece, birden fazla karmaşık değişkenin göz önüne alındığı ama bu sayının genel tutulup aşikar edilmediği ima edilmektedir.

Tek karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisinde olduğu gibi bu alanda da incelenen fonksiyonlar genelde holomorf veya başka bir deyişle karmaşık analitiktir. Dolayısıyla, tanımlı oldukları noktalarda yerel olarak z_i karmaşık değişkenlerinde kuvvet serileri ile temsilleri vardır. Başka bir denk ifadeyle, çok boyutlu karmaşık uzayda, holomorf fonksiyonlar polinomların yerel olarak düzgün limitleridir veya $n$ boyutlu Cauchy-Riemann denklemlerinin yerel olarak kare-integrallenebilir çözümleridir.

Meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemi Cousin problemi olarak adlandırılır. Ayrıca, çok değişkenli karmaşık analizde yapılan çalışmalar aynı zamanda tıkız kompleks manifoldlar ve kompleks projektif varyete ($\mathbb {CP} ^{n}$) alanında yapılan çalışmalar için önemlidir. Bu çalışmalar $\mathbb {C} ^{n}$'de yapılan kompleks analitik geometri veya Stein manifoldu üzerine yapılan çalışmalara değişik bir bakış açısı sağlar.

Tarihi

Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların incelenmesi tarihi olarak en azından 19. yüzyılın başlarına kadar götürülse de, 20. yüzyıl başlarında bir değişkenli karmaşık analizden keskin bir şekilde ayrılan sonuçların elde edilmesiyle beraber, teori $n\geq 2$ için yeni bir disiplin olarak doğmuştur. Hartogs'un 1906'da $\mathbb {C} ^{2}$'deki bazı bölgelerin holomorfluk bölgesi olamayacağını göstermesi ve Poincaré'nin karmaşık düzlemdeki iki birim diskin kartezyen çarpımıyla $\mathbb {C} ^{2}$'deki birim yuvarın birbirine Riemann dönüşüm teoremindeki gibi denk olmayacağını göstermesi çok değişkenli karmaşık analizin doğuşuna sebep olan öncü iki çalışmadır.

Bir değişkenli karmaşık analizle karşılaştırma

Holomorfluk tanımı

Bir değişkenli karmaşık analizdeki her noktada karmaşık türevlenebilme üzerinden yapılan holomorfluk tanımı, çok değişkenli analizde de benzer şekilde geçerlidir. $\Omega$ karmaşık düzlemde açık bir küme olmak üzere, $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonunun $z_{0}\in \Omega$ noktasında holomorf olması için verilen

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

tanımı, $n\geq 2$ iken, her bir karmaşık değişken için (diğerleri sabit tutularak) ayrı ayrı istenir. Diğer deyişle, $\Omega$ bu sefer $n$ boyutlu karmaşık koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$de açık bir küme olmak üzere, bir $g:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonunun holomorfluğu için

$\omega \mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},\omega ,z_{i+1},\dots ,z_{n})$

gönderimlerinin her bir koordinatta ayrı ayrı holomorf olması yeterlidir. Bazen, holomorfluk için süreklilik varsayımı da eklenir; ancak, bu varsayım Hartogs teoremi sayesinde gereksizdir.

Aynı kalan sonuçlar

$\Omega$ kümesi $\mathbb {C} ^{n}$de açık olmak üzere,

• ${\mathcal {O}}(\Omega )=\{f:\Omega \mapsto \mathbb {C} :f{\text{ holomorftur }}\}$ tanımlansın.
  

O zaman, ${\mathcal {O}}(\Omega )$, $\mathbb {C}$ cismi üzerinde iyi tanımlı bir cebirdir. Gerçekten de

1. İki holomorf fonksiyonun toplamı ve çarpımı yine holomorftur.
2. $f$ tanımlı olduğu her noktada sıfırdan farklı değer alıyorsa, o zaman ${\frac {1}{f}}$ de holomorftur.

En büyük mutlak değer teoremi

Ana madde: Maksimum ilkesi (karmaşık analiz)

$\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}$ bir bölge (bağlantılı ve açık) olsun. $f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu için $|f(z)|$'nin en büyük değeri $\Omega$ içindeki bir noktada elde ediliyorsa, o zaman $f$ sabittir. Bu yüzden, $\Omega$ sınırlı bir bölgeyse, $f:{\overline {\Omega }}\mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu sürekliyse ve sabit değilse, $|f(z)|$ en büyük değerini $\Omega$'nın topolojik sınırı olan $b\Omega$ üzerinde alır.

Yerel düzgün yakınsaklık

$f_{n}:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ yerel düzgün yakınsak bir holomorf fonksiyon dizisi ise; yani, her $z\in \Omega$ için bir $U_{z}$ komşuluğu varsa ve $f_{n}|_{U_{z}}$ dizisi düzgün yakınsaksa, o zaman limit fonksiyonu da holomorftur.

Özdeşlik teoremi

Ana madde: Özdeşlik teoremi

Holomorf bir fonksiyon açık bir küme üzerinde sıfır değeri alıyorsa, o zaman her yerde tamamen sıfır değeri alır; yani, bu fonksiyon sıfır fonksiyondur.

Açık gönderim teoremi

Ana madde: Açık gönderim teoremi (karmaşık analiz)

$f:\Omega \mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu sabit değilse, $f(\Omega )$ karmaşık düzlemde açıktır.

Kuvvet serisi temsili

$\mathbb {N} _{0}^{n}=\{(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})|\alpha _{i}\in \mathbb {N} \quad \forall i=1,\ldots ,n\}$' kümesi ${\textstyle n}$-boyutlu doğal sayılar kümesi olsun. $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ ve $X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$için aritmetik, sıralama, mutlak değer, faktöriyel ve kuvvet alma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlansın:

• $\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$
• $\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$
• $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$
• $\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$
• $X^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$

O zaman, bu biçimdeki vektör endeksler için, $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}a_{\alpha }X^{\alpha }$ bir kuvvet serisi olur ve yakınsaklığı mutlak yakınsaklık üzerinden tanımlanır.

Diğer taraftan, $z$ merkezli ve $r=(r_{1},\cdots ,r_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ yarıçaplı çoklu disk (polidisk)

$P(a,r)=\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in {\mathbf {C} }^{n}\mid \vert a_{k}-w_{k}\vert <r_{k},\forall k=1,\dots ,n\}$

olarak tanımlanır. O zaman, $f:P(a,r)\mapsto \mathbb {C}$ fonksiyonu holomorf ise,

$f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}a_{\alpha }(z-a)^{\alpha }$

gösterimi vardır. Ayrıca, $f^{(\alpha )}(a):={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial z_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial z_{n}^{\alpha _{n}}}}$ olmak üzere $a_{\alpha }={\frac {f^{(\alpha )}(a)}{\alpha !}}$ olur.

Liouville teoremi

Ana madde: Liouville teoremi (karmaşık analiz)

Bir fonksiyon $\mathbb {C} ^{n}$'de holomorf ve sınırlıysa, o zaman sabittir.

Farklılaşan sonuçlar

Sıfır ve tekilik kümeleri

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların sıfır değeri aldıkları noktaların bu fonksiyonların tanımlı oldukları kümenin içine limiti olamaz. Yani, karmaşık düzlemdeki açık kümelerde tanımlı holomorf fonksiyonların sıfırları yalıtıktır. Ancak, bu durum yüksek boyutlarda geçerli değildir. Örneğin, $f(z_{1},z_{2})=z_{1}z_{2}$ olarak tanımlı holomorf fonksiyonun sıfır kümesi $\mathbb {C} \times \{0\}\cup \{0\}\times \mathbb {C}$ kümesidir.

Çok değişkenli holomorf fonksiyonların tek bir noktada tekilliği olamaz (Hartogs devam teoremi).

Yakınsaklık bölgesi

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar tanımlı oldukları her noktada yerel olarak kuvvet serileri olarak temsil edilebilirler. Benzer bir durum, yüksek boyutlar için de geçerlidir. Ancak, bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da çoklu disk (polidisk) veya kompleks koordinat uzayı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, tam Reinhardt ve logaritmik-dışbükey bölgeler bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesidir.

Cauchy integral teoremi

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların integral temsili olan Cauchy integral formülünün $n\geq 2$ için genelleştirmeleri mevcuttur. Ancak, yüksek boyutlarda, $n=1$ iken olduğu gibi geçerli olan tek bir gösterim mevcut değildir.

Cauchy integral formülünün yüksek boyutlardaki kolay bir genellemesi karmaşık düzlemdeki açık kümelerin kartezyen çarpımından oluşan bölgeler için çok rahatlıkla gösterilebilir. Buna paralel olarak, analitik çokyüzlüler üzerinde Bergman-Weil formülü de vardır. Ancak, bu haliyle hem kartezyen çarpımı olan bölgeler için geçerli olmasıyla hem de katlı integrallerin topolojik sınır değil de sınırların kartezyen çarpımında olmasıyla yüksek boyutlardaki kullanımı güdük kalmaktadır. Yüksek boyutlarda, bu yönde elde edilmiş Bochner-Martinelli formülü ve Cauchy-Fantappié formülü gibi değişik temsiller vardır.

Holomorfluk bölgeleri

Ana madde: Holomorfluk bölgesi

Karmaşık düzlemdeki her bölge $D\subset \mathbb {C}$, bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; başka bir deyişle, her bölgenin üzerinde tanımlı ve holomorf olarak devam ettirelemeyen bir holomorf fonksiyon bulunabilir. Ancak, çok değişkenli karmaşık analiz için durum böyle değildir. Diğer deyişle, $\mathbb {C} ^{n}(n\geq 2)$'deki bazı bölgeler, herhangi bir fonksiyonun holomorfluk bölgesi değildir. Hartogs önsavı ve Hartogs devam teoremi ile kanıtlanan bu özellik sayesinde, holomorfluk bölgesinin karakterizasyonu bu disiplinde önemli bir yer tutar.

Riemann gönderim teoremi

Bir değişkenli karmaşık analizde, karmaşık analizin düzleme eşit olmayan ve basit bağlantılı olan her altkümesi birim diske birebir-örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denktir. Ancak, benzer bir sonuç yüksek boyutlarda her zaman geçerli değildir. Mesela, Poincaré $\mathbb {C} ^{2}$deki birim polidisk ile birim yuvarın arasında böyle bir dünüşüm olamayacağını göstermiştir.

Bu yönde bilinen ayırıcı başka bir özellik Fatou-Bieberbach bölgesidir. $\mathbb {C} ^{n}$'nin özalt kümesi olup da kompleks koordinat uzayı $\mathbb {C} ^{n}$ye birebir, örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denk olan bu bölgeler karmaşık düzlemde (yani $n=1$ iken) bulunmaz.