Sözde dışbükeylik

Sözde dışbükey küme, matematikte çok değişkenli karmaşık analize temel oluşturan doğal bir tanım kümesidir.

Daha açık bir şekilde ifade edilecek olursa, çok değişkenli karmaşık analizde esas araç olarak kullanılan holomorf fonksiyonlar kullanılarak tanımlanan holomorfluk bölgeleri sözde dışbükey kümelerdir. Tersi ifade, yani sözde dışbükey kümelerin holomorfi bölgeleri olduğu Levi problemi olarak bilinmektedir.

Tanım

Sözde dışbükey kümeler için birden fazla tanım vermek mümkündür:

Hartogs sözde dışbükeyliği

$\Omega \subset {\mathbb {C} }^{n}$ bağlantılı bir açık küme olsun. $\Omega$ üzerinde tanımlı sürekli, çoklualtharmonik bir $\varphi$ fonksiyonu varsa ve bütün gerçel $x$ sayıları için $\{z\in \Omega \mid \varphi (z)<x\}$ kümesi $\Omega$ nın göreceli tıkız bir alt kümesi ise, o zaman $\Omega$ ya "sözde dışbükey" bölge adı verilir.

Levi sözde dışbükeyliği

$\Omega \subset {\mathbb {C} }^{n}$ bağlantılı bir açık küme, $\Omega$ nın sınırı olan $b\Omega$ ise $C^{2}$ olsun (yani yerel olarak iki kere türevli sürekli bir fonksiyonun görüntüsü olsun). $\Omega$ nın tanımlayıcı fonksiyonunu ise $\rho$ ile gösterelim. Eğer $z\in b\Omega$ iken

$\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \rho }{\partial z_{j}}}(z)w_{j}=0$

koşulunu sağlayan her $w\in {\mathbb {C} }^{n}$ için

$\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial z_{j}\partial {\bar {z_{k}}}}}(z)w_{j}{\bar {w_{k}}}\geq 0$

ise, o zaman $\Omega$ ya sözde dışbükey adı verilir. Bu eşitsizlik $b\Omega$ nın noktalarında $0$ dan daima büyükse, o zaman bölgeye kati sözde dışbükey adı verilir. $b\Omega$ nın $C^{2}$ olmadığı durumda, $\Omega$ nın altkümesi olan kati sözde dışbükey kümeler dizisinin limiti olarak $\Omega$ elde edilebiliyorsa, $\Omega$ ya yine sözde dışbükey adı verilir.

Notlar

• Verilen bu iki sözde dışbükeylik tanımı birbirine denktir.
• Bütün dışbükey kümeler aynı zamanda sözde dışbükeydir.
• $n=1$ iken, bütün açık kümeler sözde dışbükeydir.
• $n\geq 2$ iken, bölgeler sözde dışbükey olmak zorunda değildir (Hartogs devam teoremi).

Ayrıca bakınız

• Levi problemi
• Holomorf dışbükey zarf
• Stein çokkatlısı
• Analitik polihedron

Kaynakça

• Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.