Hartogs devam teoremi

Matematikte, Hartogs teoremi, çok değişkenli karmaşık analizde birden fazla karmaşık değişkene sahip holomorf fonksiyonların analitik devamlarıyla ilgili olan ve karmaşık analizin bir değişkenli fonksiyonlar teorisinde varolmayan bir sonuçtur.

Tarihçe

Teoremin ilk hali Friedrich Hartogs tarafından kanıtlanmıştır ve bu haliyle Hartogs önsavı ya da Hartogs fenomeni olarak da bilinmektedir. Erken Sovyet kaynaklarında ise William Osgood ve Arthur Barton Brown'un daha sonraki çalışmalarına atfen Osgood-Brown teoremi olarak adlandırıldığı da görülmektedir.

Hartogs'un kanıtında Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlar için kullanıldığı görülür. Daha modern kanıtlarda ise Bochner–Martinelli–Koppelman formülü ya da homojen olmayan Cauchy–Riemann denklemlerinin tıkız destekli çözümleri kullanılmaktadır.

Teoremin ifadesi

İki ya da daha fazla kompleks boyutlu Cⁿde sınırlı bir D bölgesi alalım ve K kümesi D bölgesinde göreceli olarak tıkız olan bir küme olsun. $D\backslash K$ üzerinde tanımlı her holomorf fonksiyon, D bölgesinin tamamına holomorf olarak devam ettirilebilir.

Bu sebeple, n≥ 2 için Cⁿ 'de, bir K tıkız kümesinin tümleyeninin üzerinde tanımlı analitik bir F fonksiyonu Cⁿ 'de analitik bir fonksiyona (biricik olarak) uzatılabilir. Aynısı yine bir topun tümleyeninde veya tıkız bir altkümenin D polidiski içinde tanımlı olan F için de geçerlidir. Bu yüzden, çok değişkenli bir karmaşık fonksiyonun tekillik kümesinin desteği tıkız olamaz ve belli bir yönde 'sonsuza doğru kaçar'. Bu haliyle, bu teorem aynı zamanda birden fazla değişkene sahip holomorf fonksiyonlar için korunmalı tekilliklerin ve kaldırılabilir tekilliklerin aynı olduğunu ifade eden temel bir sonuçtur.

Hartogs fenomeni

İki kompleks değişkenli bir örnek vermek gerekirse, $0<\varepsilon <1$ varsayımıyla, $z\in \mathbb {C} ^{2}$'deki polidiskin içinde yer alan şu bölgeyi ele alalım:

$H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or}}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}.$

Burada, $\Delta ^{2}$ ile kastedilen birim dairelerin kartezyen çarpımıdır; yani, $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}$.

Teorem Hartogs (1906): $H_{\varepsilon }$ üzerinde tanımlı her holomorf fonksiyon $\Delta ^{2}$'nin tamamına analitik olarak devam ettirilebilir. Başka bir deyişle, $f$ böyle bir holomorf fonksiyon ise, $\Delta ^{2}$ üzerinde tanımlı öyle bir holomorf $F$ fonksiyonu vardır ki $H_{\varepsilon }$ üzerinde $F=f$ sağlanır.

Hartogs teoreminin bu dar kapsamlı hali Hartogs fenomeni olarak bilinir.

Kaynakça

• Brown, Arthur B. (1936), "On certain analytic continuations and analytic homeomorphisms", Duke Mathematical Journal, cilt 2, ss. 20-28, doi:10.1215/S0012-7094-36-00203-X, JFM 62.0396.02, MR 1545903, Zbl 0013.40701 

• Hartogs, Fritz (1906a), "Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten", Mathematische Annalen (Almanca), cilt 62, ss. 1-88, doi:10.1007/BF01448415, JFM 37.0444.01 .

• Osgood, William Fogg (1966) [1913], Topics in the theory of functions of several complex variables (unabridged and corrected bas.), New York: Dover, ss. IV+120, JFM 45.0661.02, MR 0201668, Zbl 0138.30901 .
• Severi, Francesco (1931), "Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 6 (İtalyanca), cilt 13, ss. 795-804, JFM 57.0393.01, Zbl 0002.34202 .
• Struppa, Daniele C. (1988), "The first eighty years of Hartogs' theorem", Seminari di Geometria 1987–1988, Bologna: Università degli Studi di Bologna – Dipartimento di Matematica, ss. 127-209, MR 0973699, Zbl 0657.35018 .