Fatou-Bieberbach bölgesi

Matematiğin bir dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, Fatou-Bieberbach bölgesi, $\mathbb {C} ^{n}$ e biholomorf gönderim ile denk olan ve $\mathbb {C} ^{n}$ 'in özalt kümesi olan bölgelere verilen addır. Diğer deyişle,

$\Omega \subsetneq \mathbb {C} ^{n}$ ise,
birebir, örten ve holomorf $f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ fonksiyonu varsa,
$f^{-1}:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega$ de yine holomorfsa,

o zaman $\Omega$ bir Fatou-Biebarbach bölgesidir.

Bu bölgeler, Riemann dönüşüm teoremi sebebiyle karmaşık düzlemde (yani $n=1$ iken) bulunmaz. O yüzden, bu bölgelerin varlığı, çok değişkenli karmaşık analizi bir değişkenli karmaşık analizden ayıran özelliklerden biridir.

Fatou-Biebarbach bölgesi adını bu tip bölgeleri 1920lerde araştırmış olan Fransız matematikçi Pierre Fatou^[1] ve Alman matematikçi Ludwig Bieberbach'dan^[2] almaktadır. Bu tip bölgelerin araştırması uzun süre kenarda kalmıştır.1980li yıllarda Jean-Pierre Rosay ve Walter Rudin'in makalesi,^[3] dikkatleri bu bölgelerin tekrardan araştırılmasına çekmiştir.

Fatou-Bieberbach örnekleri genelde bir $p\in \mathbb {C} ^{n}$ noktasını sabitleyen bir özeşyapı dönüşümü ve bu dönüşümün bu $p$ noktasındaki çekim havzası aracılığıyla verilir. Burada çekim havzası şu şekilde tanımlanabilir: $F:\mathbb {C} ^{n}\mapsto \mathbb {C} ^{n}$ bir $p\in \mathbb {C} ^{n}$ noktasını sabitleyen (yani $F(p)=p$ ) bir özeşyapı dönüşümüyse, $F^{1}:=F$ ve $j\geq 2$ tam sayıları için $F^{j}:=F\circ F^{j-1}$ tanımları altında

\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\lim _{j\to \infty }F^{j}(z)=p\}

kümesine $F$ 'nin $p$ noktasındaki çekim havzası denir. Eğer böyle bir özdönüşümün türevinin $p$ noktasındaki her özdeğerinin modülüsü 1"den küçükse, o zaman $p$ noktasındaki çekim havzası bir Fatou-Bieberbach bölgesi olur.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Fatou, Pierre: "Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables." C.R. Paris 175 (1922)
^ Bieberbach, Ludwig: "Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\mathcal {R}}_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln". Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)
^ Rosay, J.-P. and Rudin, W: "Holomorphic maps from $\mathbb {C} ^{n}$ to $\mathbb {C} ^{n}$ ". Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1] 3 Eylül 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[1] Fatou, Pierre: "Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certains fonctions uniformes de deux variables." C.R. Paris 175 (1922)

[2] Bieberbach, Ludwig: "Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\mathcal {R}}_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln". Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte (1933)

[3] Rosay, J.-P. and Rudin, W: "Holomorphic maps from $\mathbb {C} ^{n}$ to $\mathbb {C} ^{n}$ ". Trans. Amer. Math. Soc. 310 (1988) [1] 3 Eylül 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[1]

[2]

[3]