Maksimum ilkesi (karmaşık analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir $f$ fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan $|f|$ 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur.

cos(z) 'nin orijin merkezli birim dairedeki z ler için mutlak değerinin(modülüsünün) bir gösterimi (kırmızı renkte). Teoremden de tahmin edilebileceği gibi fonksiyonun mutlak değerinin en büyük değerine birim dairenin içinde ulaşılamaz(başka bir deyişle, kırmızı ile gösterilen yüzeydeki en büyük değere bu yüzeyin kenarında(sınırında) ulaşılır).

Başka bir deyişle, f ya sabit bir fonksiyondur ya da f 'nin tanım kümesi olan bölgede bulunan her z₀ için, z₀ 'a keyfi derecede yakın ve |f |'nin z₀'da alacağı değerden daha büyük değerler veren noktalar bulunur.

Teoremin kesin ifadesi

C 'nin bağlantılı, açık bir alt kümesi olan D bölgesinde tanımlı, holomorf ve karmaşık değerler alan bir f fonksiyonunu alalım. Eğer z₀, kendi etrafındaki belli bir komşuluğundaki tüm z ler için

$|f(z_{0})|\geq |f(z)|$

özelliğini sağlayan bir nokta ise, o zaman f, D üzerinde, sabittir.

Teoremin kanıtları ve sonuçları

Teoremin değişik kanıtları mevcuttur:

Teoremin en basit kanıtı, açık gönderim teoremini varsaymakla gerçekleşir. Eğer fonksiyon sabit değilse ve fonksiyonun mutlak değeri yerel bir maksimuma sahipse, o zaman bu yerel maksimum ulaşıldığı nokta etrafındaki, D içinde kalan bir açık komşuluk açık gönderim teoremi sayesinde açık bir kümeye gönderilecektir. Bu açık kümede ise, bariz bir şekilde mutlak değeri $f(z_{0})$ 'nun mutlak değerinden daha büyük noktalar vardır ve bu bir çelişkidir.

Bir diğer kanıtın genel fikri ise şudur: f 'nin karmaşık doğal logaritması olan

log f(z) = log |f(z)| + i arg f(z)

eşitliğini kullanarak ve holomorf fonksiyonların gerçel ve sanal kısımlarının harmonik fonksiyon olduğu gerçeğini gözlemleyerek log |f(z)| 'nin harmonik olduğunu elde ederiz. z₀ bu fonksiyon için de yerel bir maksimum olacağı sebebiyle, maksimum ilkesi de kullanılarak, |f(z)| 'nin sabit olduğu elde edilir. O zaman, Cauchy-Riemann denklemlerini kullanarak f'(z)=0 olduğunu gösteririz ve bu sayede, f(z)'nin de sabit olduğu gösterilir.

Teoremin hemen arkasından elde edilen bir sonuç ise minimum ilkesidir ve şu bu ilke de şu şekilde ifade edilir: Eğer f, sınırlı bir D bölgesi üzerinde holomorf, bu bölgenin sınırı üzerinde sürekli ise ve f 'nin bu bölge üzerinde sıfırı yoksa, o zaman |f (z)| minimum değerini sınır üzerinde alır.

Uygulamalar

Maksimum ilkesinin karmaşık analizin değişik yerlerinde birçok kullanımı vardır. Mesela, şu durumlarda kullanılabilir:

• Cebirin temel teoremini kanıtlamada (Değişik kaynaklarda bu teoremin bu ilke vasıtasıyla kanıtlandığı görülebilir.),
• Schwarz önsavının kanıtlanmasında (ki bu önsavın karmaşık analizin birçok yerinde uygulaması mevcuttur.),
• Phragmen-Lindelöf ilkesinin kanıtlanmasında (ki bu ilke de bu maddede açıklanan maksimum ilkesinin sınırsız bölgelere genişletilmesidir.).

Kaynakça

• E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2. baskı) (1939) Oxford University Press. (5. üniteye bakınız)
• E.D. Solomentsev (2001), "Maximum-modulus principle", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Maximum Modulus Principle (MathWorld)
• Maksimum modülüs ilkesi, John H. Mathews tarafından