Bergman çekirdeği

Matematiğin bir alanı olan çok değişkenli kompleks analizde, Bergman çekirdeği, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonlardan oluşan Hilbert uzayının (yani Bergman uzayının) doğuran çekirdeğidir. Stefan Bergman'ın ardından isimlendirilmiştir.

Tanım

$\mathbb {C} ^{n}$deki bir $D$ bölgesinde karesi integrallenebilir fonksiyonları $L^{2}(D)$ ile gösterelim. Ayrıca, $D$ bölgesinde tanımlı olan holomorf fonksiyonların uzayını da $H(D)$ ile gösterelim. O zaman, Bergman uzayı $L^{2,h}(D):=L^{2}(D)\cap H(D)$, karesi integrallenebilir holomorf fonksiyonların uzayı olacaktır ve şu özelliklere sahiptir.

• $L^{2,h}(D)$ Hilbert uzayıdır:
  • Öncelikle, Bergman uzayı, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan $L^{2}(D)$nin doğrusal bir altuzayıdır.
  • Aynı zamanda, Bergman uzayı, $L^{2}(D)$ içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi $D$nin her tıkız alt kümesi için $\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}$ eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin $L^{2}(D)$ içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. $L^{2}(D)$ zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da $L^{2,h}(D)$ içindedir.
• Yukarıda bahsedilen $\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}$ eşitsizliğinin $D$nin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda $D$ içindeki her $z$ noktası için, $ev_{z}:f\mapsto f(z)$ gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle, $D$ içindeki her $z$ noktası için, $L^{2,h}(D)$ uzayında bulunan fonksiyonların $z$ noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör $L^{2,h}(D)$'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:

$\operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).$

Bergman çekirdeği $K$, $K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}$ olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği $K(z,\zeta )$, $z$ değişkeninde holomorf ve $\zeta$ değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki eşitliği sağlar.

$f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).$

Başka bir deyişle, $D$ içindeki her $z$ noktası için, $L^{2,h}(D)$ içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun $z$ noktasında değerlendirmesini geri verir. $z$ noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından tekraradan üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

Özel bölgelerde Bergman çekirdeği

Bergman çekirdeği, karmaşık sayılar düzlemdeki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.

• Birim disk: $D=\mathbb {D} (0,1)=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert <1\}\,$ ise, o zaman

$$K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}},\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ).$$

• (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem: $D=\mathbb {C} _{+}=\{z\in \mathbb {C} :\vert Rez>0\}\,$ ise, o zaman

$K(z,\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}).$

Ayrıca bakınız

• Bergman metriği
• Bergman uzayı
• Szegő çekirdeği