Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan $A^{p}(D)$, $D$ üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

Gösterim hakkında

Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında $L_{\alpha }^{p}(D)$ ya da $L_{a}^{p}(D)$ gösterimi yaygındır; buradaki, $\alpha$ ya da $a$ harfi fonksiyonun analitik (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek $A^{p}(D)$ veya ${\mathcal {A}}^{p}(D)$ de kullanılmaktadır. Yine, $L_{\alpha }^{p}(D)$ kullanımına paralel olarak $L^{p,h}(D)$ kullanımı da vardır ve $h$ harfi fonksiyonun holomorf olduğunu simgeler.

Tanımı

$D\subset \mathbb {C} ^{n}$ açık küme, $dV$ ise $D$ üzerindeki Öklid hacim formu olsun. $D$ üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonlar uzayı $H(D)$ ile gösterilsin. $0<p<\infty$ için, $L^{p}(D)$ ise Lebesgue uzayı olsun. Bu gösterimler altında,

$A^{p}(D):=L^{p}(D)\cap H(D)$

şeklinde tanımlanan ve $L^{p}(D)$ uzayının normunu alan uzaya $D$ üzerinde tanımlı Bergman uzayı denir. Diğer deyişle, $f$ fonksiyonunun Bergman uzayında olması için,

• $f$ inin holomorf olması
• Aşağıdaki gibi tanımlı $L^{p}(D)$'de olma koşulunu sağlaması gerekir:

$\Vert f\Vert _{A^{p}(D)}=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}dV(z)\right)^{1/p}<\infty .$

$p=2$ olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için p-Bergman uzayı ifadesi de kullanılır.

Özellikler

• Yukarıda verilen $\Vert \cdot \Vert _{A^{p}(D)}$ tanımı ancak $p\geq 1$ ise gerçek bir normdur.
• $p\geq 1$ ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç, $D$'nin tıkız bir $K$ altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:

$\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.$

Bu yüzden, $L^{p}(D)$'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

• $p=2$ olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:

$\langle f,g\rangle :=\int _{D}f(z){\overline {g(z)}}dV(z).$

O zaman $A^{2}(D)$ bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir. Gerçekten de,

• Uzay, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan $L^{2}(D)$nin doğrusal bir altuzayıdır.
• Aynı zamanda, Bergman uzayı, $L^{2}(D)$ içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi $D$nin her tıkız alt kümesi için $\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}$ eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin $L^{2}(D)$ içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. $L^{2}(D)$ zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da $A^{2}(D)$ içindedir.

Bergman çekirdeği

Daha önceden bahsedilen $\sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{2}(D)}$ eşitsizliğinin $D$nin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda $D$ içindeki her $z$ noktası için, $ev_{z}:f\mapsto f(z)$ gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle, $D$ içindeki her $z$ noktası için, $A^{2}(D)$ uzayında bulunan fonksiyonların $z$ noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör $A^{2}(D)$'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:

$\operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).$

Bergman çekirdeği $K$,

$K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}$

olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği, $z$ değişkeninde holomorf ve $\zeta$ değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki çekirdek özelliğini sağlar:

$f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).$

Başka bir deyişle, $D$ içindeki her $z$ noktası için, $A^{2}(D)$ içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun $z$ noktasında değerlendirmesini geri verir. $z$ noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından tekrardan üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

Özel bölgelerde Bergman çekirdeği

Bergman çekirdeği, karmaşık düzlemdeki ve karmaşık koordinat uzayındaki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.

• Birim disk: $D=\mathbb {D} (0,1)=\{z\in \mathbb {C} :\vert z\vert <1\}\,$ ise, o zaman

$$K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}},\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ).$$

• (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem: $D=\mathbb {C} _{+}=\{z\in \mathbb {C} :\vert Rez>0\}\,$ ise, o zaman

$K(z,\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}).$

• Yuvar: $B=\{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|<R\}$ sıfır merkezli ve $R$ yarıçaplı yuvar olsun. O zaman,

$K_{B}(z,\zeta )={\frac {n!R^{n}}{\pi ^{n}}}\left(R^{2}-\sum _{j=1}^{n}z_{j}{\bar {\zeta }}_{j}\right)^{-n-1}.$

$n=1$ ve $R=1$ iken yukarıda verilen ifâde buradan tekrar elde edilebilir.

• Disk çarpımı: $U=\{z\in \mathbb {C} ^{n}||z_{j}|<r_{j},j=1,2,\cdots ,n\}$ sıfır merkezli ve $r=(r_{1},\cdots ,r_{n})$ vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) olsun. O zaman,

$K_{U}(z,\zeta )={\frac {1}{\pi ^{n}}}\prod _{j=1}^{n}{\frac {r_{j}^{2}}{\left(r_{j}^{2}-z_{j}{\bar {\zeta }}_{j}\right)^{2}}}.$

Ayrıca bakınız

• Bergman metriği
• Szegő çekirdeği