Logaritmik dışbükey fonksiyon

Matematikte logaritma fonksiyonu ile bileşkesi dışbükey olan fonksiyonlara logaritmik dışbükey veya log dışbükey fonksiyon denir;^{[not 1]}^[1] daha matematiksel bir ifadeyle, verilmiş bir $f$ fonksiyonu için $\log f$ dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman $f$ logaritmik dışbükey fonksiyondur.

Tanım

$X$ gerçel bir vektör uzayınının dışbükey bir altkümesi olsun. $f : X \to R$ ise negatif olmayan değerler alan bir fonksiyon olsun. O zaman,

${\log }\circ f$ dışbükeyse, $f$ logaritmik dışbükeydir.
${\log }\circ f$ kesin dışbükeyse, $f$ kesin logaritmik dışbükeydir.

Burada, $\log 0$ değeri $-\infty$ olarak alınmıştır. Daha matematiksel bir ifadeyle açıkça yazmak gerekirse, $f$ fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak $x 1, x 2 \in X$ ve her $t \in [0, 1]$ için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlaması ile mümkündür:

{\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}

Benzer bir şekilde, $f$ fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki eşitsizliklerin bütün $t \in (0, 1)$ için eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Yukarıdaki tanıma göre, $f$ sıfır değer alabilir. Ancak, $f$ logaritmik dışbükeyse ve $X$ kümesi içindeki herhangi bir noktada 0 değeri alıyorsa, o zaman $X$ in içindeki her noktada sıfır değeri almak zorundadır.

Denk koşullar

Eğer $f$ bir $I \subseteq R$ aralığında tanımlanmış ve türevlenebilir bir fonksiyonsa $f$ fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak aşağıdaki eşitsizliğin $I$ 'daki her $x$ ve $y$ için sağlanmasıyla mümkündür.

\log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).

$I$ 'daki her $x$ ve $y$ için $x > y$ varsayıldığında yukarıdaki eşitsizlik şuna denktir:

\left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq e^{\frac {f'(y)}{f(y)}}.

Benzer bir şekilde, $f$ fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki eşitsizliklerin eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Eğer $f$ bir $I \subseteq R$ aralığında tanımlanmış ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonsa, $f$ fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak $I$ 'daki her $x$ için

f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}

olması ile mümkündür. Eğer eşitsizlik kâti ise, o zaman $f$ fonksiyonu kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, bunun tersi doğru değildir; yani, $f$ kesin logaritmik dışbükey olup bir $x$ değeri için, $f''(x)f(x)=f'(x)^{2}$ olabilir. Örneğin, $f(x)=e^{x^{4}}$ ise, o zaman, $f$ kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, $f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}$ olur.

Ayrıca, $f\colon I\to (0,\infty )$ fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak $\alpha \in \mathbb {R}$ için $e^{\alpha x}f(x)$ fonksiyonunun dışbükey olması ile mümkündür.^{[not 2]}^{[not 3]}

Yeterli koşullar

$f_{1},\ldots ,f_{n}$ logaritmik dışbükeyse ve $w_{1},\ldots ,w_{n}$ negatif olmayan gerçel sayılarsa $f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}$ logaritmik dışbükeydir.
$\{f_{i}\}_{i\in I}$ logaritmik dışbükeylerden oluşan bir aile ise, o zaman, $g=\sup _{i\in I}f_{i}$ logaritmik dışbükeydir.
$f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R}$ dışbükeyse ve $g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}$ logaritmik dışbükey ve azalmayan bir fonksiyonsa, o zaman $g\circ f$ logaritmik dışbükeydir.

Özellikler

Logaritmik dışbükey bir fonksiyon $f$ , artan dışbükey fonksiyon $e^{x}$ ile tanım gereği dışbükey olan $\log \circ f$ fonksiyonun bileşkesi olduğundan dışbükey bir fonksiyon olur. Ancak, tersi durum her zaman geçerli değildir ve logaritmik dışbükeylik olağan dışbükeylikten daha kesin ve güçlü bir özelliktir. Örneğin, $f(x)=x^{2}$ dışbükeydir ama $\log f(x)=2\log |x|$ dışbükey değildir.

Örnekler

$f(x)=\exp(|x|^{p})$ fonksiyonu $p\geq 1$ iken logaritmik dışbükeydir ve $p>1$ iken kesin logaritmik dışbükeydir.
$f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$ fonksiyonu $(0,\infty )$ üzerinde bütün $p>0$ için kesin logaritmik dışbükeydir.
Euler gama fonksiyonu pozitif gerçel sayılar üzerine kısıtlandığında kesin logaritmik dışbükeydir. Aslında, bu özellik, Bohr-Mollerup teoremi ile Euler gama fonksiyonunu karakterize etmek için kullanılan şartlardan biridir.