Moment (matematik)

Matematik bilimi içinde moment kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan f(x)in c değeri etrafında ninci momenti şöyle ifade edilir:

\mu '_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx.

Sıfır değeri etrafında olan momentler en basit olarak bir fonksiyonun momenti diye anılır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları için momentlerin ilgili olduğu fonksiyonlar bir rassal değişken için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgilidir. Bir olasılık yoğunluk fonksiyonun sıfır etrafındaki ninci momenti Xⁿin matematiksel beklentidir. Ortalama μ etrafındaki momentler merkezsel momentler olarak adlandırılır; bunlar bir fonksiyonun şeklini betimlerler.

Eğer f bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ise, o halde yukarıda verilmiş olan entegralin değeri olasılık dağılımınin ninci moment Riemann-Stieltjes entegrali tarafından şöyle verilir:

\mu '_{n}=\operatorname {E} (X^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,dF(x)\,

Burada X bu dağılımı gösteren bir rassal değişken ve E bir beklenti operatörüdür.

Eğer

\operatorname {E} (|X^{n}|)=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{n}|\,dF(x)=\infty ,\,

ise momentin mevcut olmadığı kabul edilir. Eğer herhangi bir nokta etrafında ninci moment belirlenebilirse, o halde (n - 1)inci moment de bulunur ve her bir nokta etrafında daha-alt derecelerdeki momentler de bulunur.

Momentlerin önemi

Sıfır etrafindaki birinci moment, eğer anlamlı ise, Xin matematiksel beklentisi yani μ olarak yazılan Xin olasılık dağılımının ortalamasıdır. Daha yüksek dereceler için merkezsel momentler sıfır etrafında momentlerden daha ilgi çekicidir.

Bir rassal değişken olan Xin olasılık dağılımının ninci merkezsel momenti şudur:

\mu _{n}=E((X-\mu )^{n}).\,

Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.

Varyans

İkinci merkezsel moment varyans σ² olur; bunun pozitif kare kökü standart sapma σ olur.

Normalize edilmiş momentler

Normalize edilmiş ninci merkezsel moment veya standardize edilmis moment ninci merkezsel moment bolu σⁿ olur; yani t = (x - μ)/σ ifadesinin ninci momentidir. Bu normalize edilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal ıskala değişiminden etkilenmeden bir dağılımı temsil edebilirler.

Çarpıklık

Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment γ ile yazılıp çarpıklık adı ile anılır. Sol tarafa çarpıklık gösteren (yani sol kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım negatif çarpıklık gösterir. Sağ tarafa çarpıklık gösteren (yani sağ kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım pozitif çarpıklık gösterir.

Normal dağılımdan çok fazla farklı olmayan dağılımlar için medyan μ - γσ/6 değerine yaklaşık olur ve mod ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.

Basıklık

Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ⁴ olur.

Basıklık ölçüsü olarak kullanılan basıklık fazlalığı katsayısı κ, normalize edilmiş dördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanımlanır. (Gelecek kısımda gösterildiği gibi, bu ölçü dördüncü kümülant bölü varyans kare olarak da tanımlanır.) Bazı otoriteler bu şekilde normal dağılımı koordinatların orijinine koymak için kullanılan eksi 3 terimini tenkit etmektedirler. Eğer bir dağılım ortalama değerinde bir doruk ve iki tarafında uzun kuyruklar gösterirse, dördüncü moment değeri büyük olur ve basıklık ölçüsü κ pozitiftir; aksi halde dördüncü moment değeri küçük ve basıklık ölçüsü κ negatif olur. Böylece sınırlanmış dağılımlarda basıklık düşüktür.

Basıklık ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve κ değeri mutlaka γ² - 2; değerine eşit veya bu değerden büyük olmalıdır. κ değeri ile γ² - 2; değeri eşitliği ise ancak ve ancak Bernoulli dağılımı için doğrudur. Normal dağılımdan çok farklı şekil göstermeyen sınırsız çarpıklık gösteren dağılımlar için κ değeri γ² ile 2γ² arasında bulunur.

Bu eşitsizlik terimin ispat etmek için önce şu terimi ele alalım:

\operatorname {E} ((T^{2}-aT)^{2})\,

Bunda T = (X - μ)/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyişidir. a değeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamanda a ifadesinde bir kuadratik denklem olur. Bu da ispati istenilen ifadedir.

Kümülantlar

Birinci moment ve ikinci ve üçüncü normalize edilmemiş merkezsel momentler doğrusaldırlar; yani eğer X ve Y istatistiksel olarak bağımsız rassal değişkenlerse, o halde

\mu _{1}(X+Y)=\mu _{1}(X)+\mu _{1}(Y)\,

ve

\operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)

ve

\mu _{3}(X+Y)=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y).\,

eşitlikleri gerçektir. (Bu şartlar yalnız bağımsızlık şartına değil daha zayıf şartlar altında bulunan değişkenler için de gerçek olabilir.) Birinci şart her zaman doğru olup ikinci şart da doğru olursa bu değişkenler arasında korelasyon yoktur.

Bunun doğruluğunu anlamak için bu momentlerin ilk üç kümülant olduklarını ve dördüncü kümülantin ise basıklık katsayısı κ çarpı σ⁴ olduğunu anlamak yeterlidir.

Bütün kümülantlar momentlerin polinomlarıdır yani faktoriyel momentlerdir. Merkezsel momentler sıfır etrafındaki momentlerin polinomlarıdır ve bunun aksi de doğrudur.

Örneklem momentleri

Bir anakütle için momentler bir örneklem k-inci momenti kullanılarak kestirimi yapılabilirler. Örneklem k-inci momenti şöyle ifade edilir:

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}\,\!

ve bu anakütleden rassal örneklem ile seçilmiş X₁,X₂,..., X_n örneklem değerlerine uygulanır.

Bu bir yansız kestirimdir. Çünkü herhangi bir n büyüklükte bir örneklem için örneklem momentinin matematiksel beklenen değerinin anakütle k-inci momentine eşit olduğu hemen gösterilebilir.

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

[1]15 Mart 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Mathworld websitesi.