Reuschle teoremi

Temel geometride, Reuschle teoremi, ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar ve adını Alman matematikçi Karl Gustav Reuschle (1812-1875)'den alır. Ayrıca Fransız matematikçi Olry Terquem (1782-1862)'in adıyla 1842'de yayınlayan Terquem teoremi olarak da bilinir. Teorem, Euler doğrusu ve Feuerbach'ın dokuz nokta çemberi ile bağlantılı olarak benzer biçimde bulunan belirli köşe çaprazlarının kesişim özellikleriyle ilgili bir problemi ele almaktadır. Reuschle teoreminin ispatı, sekant teoreminin yanı sıra Ceva teoremi ve onun karşıt teoremine dayanmaktadır.

Reuschle teoremi:
$AP_{a}$, $AP_{b}$ ve $AP_{c}$ cevianları $D$'de kesişir
$AP'_{a}$, $AP'_{b}$ ve $AP'_{c}$ $D'$'de kesişir.

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$, $B$ veya $C$ köşeleri dışında ortak bir noktada kesişen üç cevianı olan $P_{a}$, $P_{b}$ ve $P_{c}$ (genişletilmiş) üçgen kenarları ile cevianların kesişimlerini göstersin. Üç $P_{a}$, $P_{b}$ ve $P_{c}$ noktası tarafından tanımlanan çember (genişletilmiş) üçgen kenarlarını (ilave olarak) $P'_{a}$, $P'_{b}$ ve $P'_{c}$ noktalarında keser. Reuschle teoremi şimdi üç yeni cevian $AP'_{a}$, $BP'_{b}$ ve $CP'_{c}$'nin de ortak bir noktada kesiştiğini belirtir.

Demo

P ve Q'nun ABC üçgenine göre siklocevian eşlenikleri ve bunların ortak cevian çemberi.

Ceva teoremine göre, eğer (AF), (BG) ve (CE) doğruları kesişiyorsa, o zaman:

${\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}=-1$.

A noktasının EFG tarafından çevrelenen çembere göre kuvveti:

$p={\overline {JA}}\times {\overline {GA}}={\overline {IA}}\times {\overline {EA}}$

Dolayısıyla oranlar eşittir:

${\frac {\overline {EA}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}$.

Benzer şekilde, B'nin kuvveti şu ifadeyi yazmamızı sağlar:

${\frac {\overline {EB}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {HB}}{\overline {IB}}}$.

Son olarak, C'nin kuvveti şu ifadeyi yazmamızı sağlar:

${\frac {\overline {GC}}{\overline {FC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}$.

Soldaki üç oranın çarpımı -1'dir, dolayısıyla sağdaki oranların çarpımı da -1'dir ve :

$-1={\frac {\overline {EA}}{\overline {EB}}}\times {\frac {\overline {FB}}{\overline {FC}}}\times {\frac {\overline {GC}}{\overline {GA}}}={\frac {\overline {JA}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {HC}}{\overline {JC}}}={\frac {\overline {HC}}{\overline {HB}}}\times {\frac {\overline {IB}}{\overline {IA}}}\times {\frac {\overline {JA}}{\overline {JC}}}$.

Ceva teoreminin tersine göre, üç doğru (AH), (BJ) ve (CI) tek noktada kesişir.

Özel durumlar

G_e'nin cevian çemberi, ABC üçgeninin Gergonne noktası, ABC üzerine çizilmiş çemberdir.

• Üçgenin Gergonne noktası, kendi çevrimsel-cevian eşleniğidir; değme çemberi ise üçgenin iç teğet çemberidir.
• Sentroidin (Üçgenin ağırlık merkezinin) çevrimsel-cevian eşleniği (kenarortayların kesişme noktası) ortosantrdır (yüksekliklerin kesişme noktası) ve bunun tersi de geçerlidir. O halde cevian çemberi, üçgenin Euler çemberidir.

Kaynakça

• Friedrich Riecke (ed.): Mathematische Unterhaltungen. Volume I, Stuttgart 1867, (reprint Wiesbaden 1973), 3-500-26010-1, p. 125 (German)
• M. D. Fox, J. R. Goggins: "Cevian Axes and Related Curves." The Mathematical Gazette, volume 91, no. 520, 2007, pp. 3–4 (JSTOR).

Dış bağlantılar

• Terquem's theorem at cut-the-knot.org
• Eric W. Weisstein, Cyclocevian Conjugate (MathWorld)