Runge teoremi

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur.

Mavi tıkız kümede holomorf olan bir f fonksiyonu ve her delikte bir nokta verilsin. f'ye sadece bu üç noktada kutupları olan rasyonel fonksiyonlarla istendiği kadar yaklaşım yapılabilir.

Teoremin ifadesi

Runge teoremi: $K$ karmaşık sayılar kümesi $\mathbb {C}$ nin tıkız bir altkümesiyse, bir $A$ kümesinin içinde $\mathbb {C} \backslash K$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu $K$ üzerinde holomorfsa, o zaman kutupları $A$ içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir $(r_{n})$ dizisi vardır öyle ki bu $(r_{n})$ dizisi f 'ye $K$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar.

$A$ kümesinin herhangi bir noktası, bu $(r_{n})$ dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: $(r_{n})$ dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar $A$ nın içindedir.

Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki $A$ kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, $\mathbb {C} \backslash K$ nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder.

$\mathbb {C} \backslash K$ nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki $A$ kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka bir şey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer $K$, $\mathbb {C}$ nin tıkız bir altkümesiyse, $\mathbb {C} \backslash K$ bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu $K$ üzerinde holomorfsa, o zaman f 'ye $K$ üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi $(p_{n})$ vardır.

Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise $A$ kümesi Riemann küresinin, yani $\mathbb {C}$∪{∞} un, altkümesiyse ve ayrıca $A$ nın (şimdi ∞'u da kapsayan) $K$ kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup $K$ nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.

Ayrıca bakınız

• Mergelyan teoremi

Kaynakça

• John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer; 2. baskı (1997), ISBN 0-387-97245-5.--Fonksiyonel Analizde Bir Ders.
• Robert E. Greene and Steven G. Krantz, Function Theory of One Complex Variable, American Mathematical Society; 2. baskı (2002), ISBN 0-8218-2905-X.--Bir Karmaşık Değişkenli Fonksiyon Teorisi.