Matematik alanında, toplam veya genel toplam olarak sonuçlanan, toplananlar ya da toplamalar diye adlandırılan bir sayı dizisinin eklenme sürecine toplam/toplama denir. Sayıların yanı sıra, fonksiyonlar, vektörler, matrisler, polinomlar ve genelde "+" işareti ile tanımlanmış işleme sahip diğer tüm matematiksel nesne türleri de toplanabilir.

Sonsuz diziler üzerinde gerçekleştirilen toplam işlemleri seriler olarak isimlendirilir. Bu tür toplamlar, limit kavramını barındırır ve bu makale kapsamında değerlendirilmemektedir.

Belirli bir diziye ilişkin toplam, ardışık toplama işlemleri ile tanımlanır. Örnek olarak, [1, 2, 4, 2] elemanlarının toplamı 1 + 2 + 4 + 2 şeklinde ifade edilir ve bu işlem sonucunda 9 değeri elde edilir; bir diğer deyişle 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Toplama işleminin birleşme ve değişme özellikleri dolayısıyla, işlem sırasının değişmesinden bağımsız olarak sonuç değişmez ve parantez kullanımına gerek kalmaz. Tek bir eleman içeren bir dizinin toplamı, o elemanın kendisidir. Eleman barındırmayan boş bir dizinin toplamı ise, konvansiyonel olarak sıfır olarak kabul edilir.

Genellikle, bir dizinin elemanları, bu elemanların dizideki konumlarına bağlı olarak belirli bir düzen içinde bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Basit düzenlerde, uzun dizilerdeki toplamlar, birçok toplananın üç nokta ile yer değiştirmesi şeklinde ifade edilebilir. Örnek olarak, ilk yüz doğal sayının toplamı 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 biçiminde belirtilebilir. Diğer durumlarda, toplama işlemi Σ notasyonu ile ifade edilir; burada , büyütülmüş bir sigma harfine işaret eder. İlk n doğal sayının toplamı, örneğin, şeklinde tanımlanabilir.

Uzun toplam işlemleri ve değişken uzunlukta olan toplam işlemleri için (üç nokta veya Σ notasyonu ile ifade edilenler), sonucun kapalı form ifadesine ulaşmak sık karşılaşılan bir problemdir. Örneğin,[a]

Bu tür formüllerin her zaman bulunabilir olmadığı durumlar olmakla birlikte, birçok toplam formülü tespit edilmiştir; bu makalede yer alan bölümler, en yaygın ve temel formüllerden bazılarını içermektedir.

Notasyon

değiştir

Büyük-sigma notasyonu

değiştir
 
Toplama sembolü

Matematiksel notasyon, birçok benzer terimin toplamını kompakt bir şekilde temsil eden bir sembol kullanır: toplama sembolü,  , dik büyük Yunan harfi sigma'nın büyük harfli formudur. Bu,

 

şeklinde tanımlanır; burada i toplama endeksi olarak adlandırılır; ai toplamın her terimini temsil eden dizinli değişkendir; m toplamın alt sınırı ve n toplamın üst sınırıdır. Toplama sembolünün altında yer alan "i = m" ifadesi, indeks i'nin m ile başladığını belirtir. İndeks, i, her ardışık terim için bir arttırılarak, i = n olduğunda durur.[b]

Bu ifade, "i = m ile başlayıp n ile biten değerlerin toplamı" şeklinde okunur.

Karelerin toplamını gösteren bir örnek aşağıda verilmiştir:

 

Genelde, bir toplama işleminin indeksi olarak belirsizlik oluşturmayacak şekilde herhangi bir değişken kullanılabilir. Toplama indeksi olarak en sık kullanılan semboller arasında  ,[c]  ,   ve   yer alır; bunlardan sonuncusu sıklıkla toplamaların üst sınırını belirtmek için tercih edilir.

Alternatif bir yaklaşım olarak, eğer bağlam yeterince açıksa, toplama işlemi tanımından indeks ve sınırlar bazen çıkarılabilir. Bu durum, özellikle indeksin 1'den n'ye uzandığı hallerde uygulanır.[1] Örnek olarak, aşağıdaki ifade kullanılabilir:

 

Bu gösterimlerin çeşitli genellemeleri sıklıkla tercih edilir; burada, belirlenen keyfi bir mantıksal koşul altında, bu koşulu karşılayan tüm değerlerin toplamı gerçekleştirilmek üzere tasarlanmıştır. Örnek olarak:

 

  gösteriminin alternatif bir biçimidir ve belirlenen aralıkta yer alan tüm (tam sayılar)   için   değerlerinin toplamını temsil eder. Aynı şekilde,

 

küme   içerisindeki tüm elemanlar   için   toplamını ifade eder ve

 

 'i bölen pozitif tamsayılar   üzerinden   toplamını gösterir.[d]

Çok sayıda sigma işaretinin kullanımı genelleştirilebilir şekilde ifade edilebilir. Örnek olarak,

 

ifadesi,

 

ile aynı anlamı taşır.

Dizi çarpımı için benzer bir notasyon kullanılır; burada, Yunan alfabesinin büyük harfi pi'nin genişletilmiş formu olan  ,   işaretinin yerine tercih edilir.

Özel durumlar

değiştir

İki sayıdan daha az sayıda sayı ile toplam işlemi mümkündür:

  • Eğer toplamda yalnızca bir toplama elemanı   bulunuyorsa, bu durumda elde edilen toplam   değeridir.
  • Toplamda hiçbir toplama elemanı bulunmamaktaysa, elde edilen toplam sıfır olacaktır, çünkü sıfır toplama işlemi için birim eleman özelliği taşır. Bu durum, boş toplam olarak adlandırılır.

Bu türden niteliksiz durumlar genellikle toplama notasyonu özel bir durumda geçersiz bir sonuç ürettiğinde tercih edilir. Örneğin, tanımda   olduğunda toplam içerisinde yalnızca bir eleman bulunur;   olduğunda ise herhangi bir eleman bulunmamaktadır.

Resmi tanım

değiştir

Toplam işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:

 ,   durumunda;
 ,   durumunda.

Ölçü teorisi notasyonu

değiştir

Ölçü ve integrasyon teorileri çerçevesinde, bir toplam belirli integral şeklinde gösterilebilir,

 

burada  ,  'dan  'ye kadar olan tam sayıların altkümesini ifade eder ve  , tam sayılar üzerinden alınan sayma ölçüsüdür.

Sonlu farklar kalkülüsü

değiştir

Verilen bir f fonksiyonunun tam sayılar üzerinde tanımlandığı ve aralık [m, n] içerisinde yer aldığı durumda, aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

 

Bu durum, teleskopik seri olarak tanımlanır ve sonlu farklar hesabı içindeki kalkülüsün temel teoremine benzer bir yaklaşım sunar. Bu teorem, şu şekilde ifade edilir:

 

burada

 

f fonksiyonunun türevi olarak belirtilir.

Yukarıdaki eşitliğin bir uygulama örneği şöyledir:

 

binom teoremi yardımıyla, bu ifade şu şekilde dönüştürülebilir:

 

Yukarıda verilen formül, aşağıda tanımı yapılan fark operatörü   için tersine çevirme işleminde genellikle tercih edilir:

 

burada f, sıfır veya daha büyük tamsayılar üzerinde tanımlanmış bir fonksiyondur. Bu bağlamda, belirtilen f fonksiyonu için görev, f'nin ters farkını, yani   şeklinde tanımlanacak öyle bir fonksiyonu hesaplamaktır ki,   denklemini sağlar. Başka bir deyişle,   Bu fonksiyon bir sabit değer eklenmesi dışında belirlenmiştir ve şu biçimde ifade edilebilir:[2]

 

Bu tip toplamlar için her zaman bir kapalı form ifadesi mevcut olmayabilir; fakat Faulhaber formülü,   durumunda ve doğrusallık prensibi gereği her polinom fonksiyonu için kapalı bir form sunar.

Belirli integrallerle yaklaşım

değiştir

Birçok yaklaşım (İng. approximation), toplamlar ile integraller arasında kurulan ve herhangi bir artan f fonksiyonu için geçerli olan şu bağlantı ile sağlanabilir:

 

ve herhangi bir azalan f fonksiyonu için:

 

Daha kapsamlı yaklaşımlar için, Euler–Maclaurin formülü incelenebilir.

Toplama işlemi, indeksin bir integral fonksiyonu tarafından verilmiş veya bu yöntemle elde edilmişse, toplama işlemi ilgili belirli integralin tanımında yer alan bir Riemann toplamı olarak değerlendirilebilir. Bu bağlamda, örneğin

 

beklenir; zira sağ tarafta yer alan ifade, sol tarafta yer alan ifadenin   limiti olarak tanımlanmıştır. Ancak, belirli bir toplam için n sabit kaldığından, f hakkında ek varsayımlar yapılmadan yukarıdaki yaklaşımdaki hata hakkında sınırlı bilgi verilebilir: Özellikle şiddetli dalgalanan fonksiyonlar için, Riemann toplamı, Riemann integralinden önemli ölçüde farklı olabilir.

Özdeşlikler

değiştir

Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.

Genel özdeşlikler

değiştir
  (dağılma)[3]
  (Değişme özelliği ve birleşme özelliği)[3]
  (indeks öteleme)
  (ifadesi, sonlu bir küme A üzerinden başka bir küme B'ye bir bijeksiyon σ aracılığıyla gerçekleşen bir eşleme durumunda geçerlidir; bu durum, önceki formülü daha genel bir bağlama taşır.)
  (Birleşme özelliğini kullanarak toplamın parçalanması)
  (bir önceki formülün bir başka formu)
  (ifadesinde, serinin ilk elemanından son elemanına kadar olan toplamı, serinin son elemanından başlayıp ilk elemanına doğru olan toplamına eşdeğerdir. Bu durum, toplamın simetrisini ve ters çevrilebilirliğini vurgular.)
  (bir önceki formülün bir başka formu)
  (değişme özelliği ve birleşme özelliği)
  (değişme ve birleşme özelliğinin bir başka uygulaması)
  ifadesi, bir toplamın tek ve çift bileşenlerine ayrılmasını ifade eder, burada çift sayılı indeksler için bu ayrım yapılmaktadır. Bu yöntem, toplamın daha sistemli bir şekilde incelenmesini sağlar.
  (toplamın tek indeks ile çift ve tek unsurlarına ayrılması)
  (Dağılma özelliği)
  (ifadesi, dağılma özelliğinin, çarpım işlemlerinin faktörler olarak ifade edilmesine olanak tanıdığını gösterir. Bu durum, iki farklı serinin çarpımının, her bir serinin toplamlarının çarpımına eşdeğer olduğunu ifade eder. Bu yöntem, serilerin çarpımını basitleştirerek analiz etmeyi kolaylaştırır.)
  (ifadesi, bir çarpım işleminin logaritmasının, bu çarpımda yer alan bireysel terimlerin logaritmalarının toplamına denk olduğunu belirtir. Bu özellik, çarpım işlemlerinin logaritmik ifadesini analiz etmek için matematiksel bir kolaylık sağlar ve çarpım işlemlerinin logaritmalarını basitleştirerek toplama dönüştürmeyi mümkün kılar.)
  (ifadesinin   tabanında üssü,  'den  'ye kadar olan   fonksiyonunun her bir değeri için  'nin alınmış üslerinin çarpımına eşittir)
  (ifadesi,   üzerinde tanımlanmış herhangi bir   fonksiyonu için geçerlidir.)

Aritmetik dizilerin üs alınması ve logaritma hesaplamaları

değiştir
  ifadesi, c sabiti i'den bağımsız olduğunda her n için geçerlidir.
  (n doğal sayının toplamı, bu sayılar en basit aritmetik diziyi oluşturur.)[2]:52
  (tek doğal sayıların toplamı)
  (çift doğal sayıların toplamı)
  (bir dizi logaritmanın toplamı, bu değerlerin çarpımının logaritması ile eşdeğerdir)
  (kare sayıların toplamı, kare piramidal sayıyla ilgilidir.) [2]:52
  (Nicomachus teoremine göre) [2]:52

Daha geniş bir perspektiften,   durumu için Faulhaber'in formülü aşağıdaki gibidir:

 

Bu ifadede,  , bir Bernoulli sayısı olarak tanımlanır ve  , bir binom katsayısı olarak bilinir. Bu formül, polinom derecesinin kuvvetleri toplamını hesaplamada kullanılır ve Bernoulli sayıları ile bu toplamlar arasındaki ili

Üs değerlerindeki toplam indeksleri

değiştir

Aşağıdaki toplam ifadelerde, a değerinin 1'den farklı olduğu kabul edilmektedir.

  (bir geometrik dizinin toplamı olarak)
  (a = 1/2 için özel bir durum)
  (geometrik dizinin a'ya göre türetilmiş ifadesinin a ile çarpılması sonucu)
 
(bir aritmetik-geometrik dizinin toplamı)

Binom katsayıları ve faktöriyeller

değiştir

Binom katsayılarını içeren pek çok toplam özdeşliği mevcuttur; Concrete Mathematics adlı eserin bir bölümü bu temel tekniklerin incelenmesine özel olarak ayrılmıştır. Bu özdeşliklerin en temel olanlarından bazıları aşağıda sunulmuştur.

Binom teoremi bağlamında

değiştir
  ifadesi binom teoremini temsil eder.
  ifadesi, a = b = 1 durumunda, binom katsayılarının toplamının özel bir halidir.
 , ifadesi p = a = 1 − b durumunda olup,   aralığında binom dağılımının toplam değerlerini gösterir.
  ifadesi, a = b = 1 durumunda, binom teoreminin türetilmiş formunu verir.
  ifadesi, a = b = 1 durumunda, binom teoreminin integral alınmış formunun bir değerini ifade eder.

Permütasyon sayıları bağlamında

değiştir

Aşağıda verilen toplamlarda,  , k-permutasyonlarından n sayısını temsil eder.

  ifadesi, verilen kapsamdaki permutasyon sayılarının bir toplamını ifade eder.
  ifadesi, belirli bir kapsamdaki ardışık sayıların çarpımlarının toplamını ve bu toplamın matematiksel ifadesini gösterir.
  ifadesi, faktöriyel ve permutasyon sayılarının toplamlarını hesaplar ve bu toplamların bir tam sayıya yuvarlanmış halini, yani taban fonksiyonunu kullanarak ifade eder.

Diğerleri

değiştir
 
 
 
 
 
 

Harmonik sayılar

değiştir
  ifadesi, n'inci harmonik sayıyı temsil eder.
  ifadesi, bir genelleştirilmiş harmonik sayıyı ifade eder.

Büyüme hızları

değiştir

Aşağıdaki ifadeler, çeşitli fonksiyonların büyüme hızlarını gösteren yaklaşık değerlerdir (theta notasyonu kullanılarak):

  ifadesi, reel c değeri −1'den büyükse geçerlidir.
 .
  ifadesi, reel c değeri 1'den büyükse geçerlidir.
  ifadesi, negatif olmayan reel c değeri için geçerlidir.
  ifadesi, negatif olmayan reel c, d değerleri için geçerlidir.
  ifadesi, negatif olmayan reel b > 1, c, d değerleri için geçerlidir.

Tarihçe

değiştir
 
  • 1772 yılında, Σ and Σn sembolünün kullanımı Lagrange tarafından kayıt altına alınmıştır. [7][9]
  • 1823 yılında, büyük 'S' harfi, seriler için bir toplam sembolü olarak kullanılmış ve bu kullanım geniş çapta yaygınlaşmıştır.[7]
  • 1829 yılında, Σ toplam sembolü, Fourier ve C. G. J. Jacobi tarafından kullanılmış ve bu kullanım belgelenmiştir.[7] Fourier'in metodolojisi, belirli alt ve üst sınırlar dahilinde değerlendirmeleri içermektedir.[10][11] Örneğin:
  ifadesi, sonsuz bir serinin toplamını ve bu toplamın nasıl ele alınacağını gösterir. Bu tür bir ifade, matematiksel analizde sıkça karşılaşılan karmaşık seri hesaplamalarını temsil eder.
  1. ^ Detaylar için üçgensel sayı maddesine göz atınız.
  2. ^ Toplama notasyonu ve toplamlarla aritmetik üzerine detaylı bir inceleme için bkz. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (PDF) (2. bas.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029. [ölü/kırık bağlantı]
  3. ^ i sayısı   ile karıştırılma ihtimali bulunmadığında
  4. ^ Serbest değişkenlerin ve bağlı değişkenlerin ismi, tanım itibariyle önemsizdir; ancak, karışıklık riski olduğunda genellikle alfabe ortasındaki harfler ( 'den  'ya kadar) tam sayıları ifade etmek için kullanılır. Örneğin, yorumlamada kesin bir netlik olmasına karşın, birçok matematikçi yukarıdaki formüllerde   yerine   kullanılmasını muhtemelen anlaşılması güç bulabilir.

Kaynakça

değiştir
  1. ^ "Summation Notation". www.columbia.edu. 31 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Ağustos 2020. 
  2. ^ a b c d Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, 0-8493-0149-1.
  3. ^ a b "Calculus I - Summation Notation". tutorial.math.lamar.edu. 11 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Ağustos 2020. 
  4. ^ Burton, David M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction. 7th. McGraw-Hill. s. 414. ISBN 978-0-07-338315-6. 
  5. ^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel (Ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. s. 154. 
  6. ^ a b Cajori (1929), ss. 181-182.
  7. ^ a b c d Cajori (1929), s. 61.
  8. ^ Euler, Leonhard (1755). Institutiones Calculi differentialis (Latin). Petropolis. s. 27. 4 Nisan 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Nisan 2024. 
  9. ^ Lagrange, Joseph-Louis (1867–1892). Oeuvres de Lagrange. Tome 3 (Fransızca). Paris. s. 451. 8 Nisan 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Nisan 2024. 
  10. ^ Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France pour l'année 1825, tome VIII (Fransızca). Paris: Didot. 1829. ss. 581-622. 
  11. ^ Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1888–1890). Oeuvres de Fourier. Tome 2 (Fransızca). Paris: Gauthier-Villars. s. 149. 7 Nisan 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Nisan 2024. 

Bibliografya

değiştir

Dış bağlantılar

değiştir