Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Fonksiyon	Türev
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\arcsin(x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arccot}(x)$	$-{\frac {1}{x^{2}+1}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	${\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi $sin'(a)=cos(a)$ şeklinde yazılır, bu da sin(x) fonksiyonunun belirli bir açı x = a için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan(x) = sin(x)/cos(x) gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin(x) ve cos(x) türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti

Merkezi O olan, yarıçapı 1 olan bir daire

Sağdaki diyagramda, merkezi O olan ve yarıçapı r = 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap OA ve OB θ radyanlık bir yay oluşturur. θ'nın 0 < θ < 1/2 π aralığında ve birinci çeyrekte olan küçük pozitif bir sayı olduğunu varsayabiliriz.

Diyagramda, R₁ OAB üçgeni, R₂ daire dilimi OAB ve R₃ OAC üçgenidir.

OAB üçgeninin alanı:

$\mathrm {Alan} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.$

OAB daire diliminin alanı:

$\mathrm {Alan} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.$

OAC üçgeninin alanı:

$\mathrm {Alan} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:

${\text{Alan}}(R_{1})<{\text{Alan}}(R_{2})<{\text{Alan}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.$

Ayrıca, birinci çeyrekte sin θ > 0 olduğu için, her iki tarafı 1/2 sin θ ile bölebiliriz:

$1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.$

Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.

Sıkıştırma: Kırmızı ile gösterilen eğriler y = 1 ve y = cos θ, mavi eğri y = sin(θ)/θ

Sonuç olarak, 0 < θ < 1/2 π için sin(θ)/θ her zaman 1'den küçük ve her zaman cos(θ)'dan büyüktür. Dolayısıyla, θ sıfıra yaklaştıkça sin(θ)/θ 1 yüksekliğindeki bir tavanda ve cos θ yüksekliğindeki bir tabanda "sıkıştırılmıştır" ve bu yükseklik 1'e doğru yükselir; bu nedenle sin(θ)/θ sıfıra yaklaşırken:

$\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

θ küçük bir negatif sayı olduğunda –1/2 π < θ < 0, sinüsün tek fonksiyon olduğunu kullanırız:

$\lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.$

θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti

Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada θ'nın işareti önemsizdir.

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.$

cos²θ – 1 = –sin²θ ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:

$\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}=\left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.$

tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması

Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:

$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.$

Sinüs Fonksiyonunun Türevi

Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.$

Açı toplam formülünü kullanarak sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, şunu elde ederiz:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.$

Kosinüs Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından

Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.$

Açı toplam formülünü kullanarak cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, şunu elde ederiz:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.$

Zincir Kuralı ile

Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:

$\cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

$\sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta$

İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)$

Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz. $f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta$ olarak alırsak:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta$.

Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:

${\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta$.

Tanjant Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından

Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).$

Açı toplam formülünü kullanarak tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β):

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].$

Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).$

Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan δ 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .$

Hemen şunu görüyoruz:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.$

Bölme kuralından

Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:

${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta ={\frac {d}{d\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}$

Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:

${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta$

Sonuç olarak:

${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken y belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından dy/dx için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini y cinsinden buluruz. dy/dx'yi tekrar x cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy/dx'yi x cinsinden ifade edebiliriz.

Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\arcsin x\,\!$

Burada:

$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$

O halde:

$\sin y=x\,\!$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$

$\cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!$

Yukarıdan $\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ değerini yerine koyarak,

${\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Yukarıdan $x=\sin y$ değerini yerine koyarak,

${\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

Sonuç olarak:

${dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\arccos x\,\!$

Burada:

$0\leq y\leq \pi$

O halde:

$\cos y=x\,\!$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$

$-\sin y\cdot {dy \over dx}=1\,\!$

Yukarıdan $\sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!$ değerini yerine koyarak,

$-{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1$

Yukarıdan $x=\cos y\,\!$ değerini yerine koyarak,

$-{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1$

Sonuç olarak:

${dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Alternatif olarak, $\arcsin x$ türevini belirledikten sonra, $\arccos x$ türevi, $\arcsin x+\arccos x=\pi /2$ özdeşliğini türevleyerek $(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$ elde edilerek hemen takip edilir.

Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\arctan x\,\!$

Burada:

$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$

O halde:

$\tan y=x\,\!$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$

Sol taraf:

${d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}$ Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

${d \over dx}x=1$

Sonuç olarak:

$(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1$

Yukarıdan $x=\tan y\,\!$ değerini yerine koyarak,

$(1+x^{2}){dy \over dx}=1$

Sonuç olarak:

${dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

$y=\operatorname {arccot} x$

Burada:

$0<y<\pi$. O halde:

$\cot y=x$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x$

Sol taraf:

${d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}$ Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

${d \over dx}x=1$

Sonuç olarak:

$-(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1$

Yukarıdan $x=\cot y$ değerini yerine koyarak,

$-(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1$

Sonuç olarak:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Alternatif olarak, $\arctan x$ türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse, $\arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}$ özdeşliğinden, hemen şu sonuç elde edilir: $${\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$$

Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma

Örtük Türevleme Kullanarak

Şunu alıyoruz:

$y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1$

O halde:

$x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

${\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü sekant ve tanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök ${\sqrt {x^{2}-1}}$ her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Zincir Kuralını Kullanarak

Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

$y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$

Burada

$|x|\geq 1$ ve $y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]$

O halde, $\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)$ için zincir kuralını uygulayarak:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma

Örtük Türevleme Kullanarak

Şunu alıyoruz:

$y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1$

O halde

$x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

${\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}$

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü kosekant ve kotanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök ${\sqrt {x^{2}-1}}$ her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Zincir Kuralını Kullanarak

Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

$y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Burada

$|x|\geq 1$ ve $y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

O halde, $\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)$ için zincir kuralını uygulayarak:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Ayrıca bakınız

• Kalkülüs
• Türev
• Türev alma kuralları
• Trigonometrik özdeşlikler listesi
• Trigonometri

Bibliyografya

• Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı, Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)