Trigonometrik özdeşlikler listesi

Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar üçgen özdeşliklerinden farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.

Bu özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonları içeren ifadelerin basitleştirilmesi gerektiğinde kullanışlıdır. Önemli bir uygulama, trigonometrik olmayan fonksiyonların integrasyonudur: yaygın bir teknik, önce bir trigonometrik fonksiyonla ikame kuralı kullanmayı ve ardından ortaya çıkan integrali bir trigonometrik özdeşlikle basitleştirmeyi içerir.

Pisagor özdeşlikleri

Ana madde: Pisagor trigonometrik özdeşliği

Trigonometrik fonksiyonlar ve bunların birim çember üzerindeki karşılıkları. Tüm dik açılı üçgenler benzerdir, yani karşılık gelen kenarları arasındaki oranlar aynıdır. $Sin$, $cos$ ve $tan$ için birim uzunluktaki yarıçap, onları tanımlayan üçgenin hipotenüsünü oluşturur. Karşılıklı özdeşlikler, bu birim çizginin artık hipotenüs olmadığı üçgenlerde kenarların oranları olarak ortaya çıkar. Mavi gölgeli üçgen $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$ özdeşliğini, kırmızı gölgeli üçgen ise $\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$ özdeşliğini göstermektedir.

Sinüs ve kosinüs arasındaki temel ilişki Pisagor özdeşliği ile verilir:

$$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$$

burada $\sin ^{2}\theta =(\sin \theta )^{2}$ ve $\cos ^{2}\theta =(\cos \theta )^{2}$ anlamına gelir.

Bu Pisagor teoreminin bir versiyonu olarak görülebilir ve birim çember için $x^{2}+y^{2}=1$ denkleminden çıkar. Bu denklem sinüs ya da kosinüs için çözülebilir:

$${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$$

Burada işaret $\theta$'nın çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır.

Bu özdeşliği $\sin ^{2}\theta$, $\cos ^{2}\theta$ veya her ikisine böldüğünüzde aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:

$${\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}$$

Bu özdeşlikleri kullanarak, herhangi bir trigonometrik fonksiyonu diğer herhangi bir fonksiyon cinsinden (artı veya eksi işaretine kadar) ifade etmek mümkündür:

Her bir trigonometrik fonksiyon diğer beş fonksiyonun her biri cinsinden

cinsinden	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

Yansımalar, kaymalar ve periyodiklik

Birim çember incelenerek trigonometrik fonksiyonların aşağıdaki özellikleri belirlenebilir.

Yansımalar

$\alpha$ yansıma açısını ${\frac {\pi }{4}}$ artışlarla kaydırırken (a, b) koordinatlarının dönüşümü.

Bir Öklid vektörünün yönü bir $\theta ,$ açısı ile temsil edildiğinde, bu açı serbest vektör (orijinden başlayan) ve pozitif $x$-birim vektörü tarafından belirlenen açıdır. Aynı kavram, Öklid uzayında doğrulara da uygulanabilir; burada açı, verilen doğruya orijinden ve pozitif $x$-ekseninden geçen bir paralel doğru tarafından belirlenen açıdır. $\theta$ doğrultulu bir doğru (vektör) $\alpha ,$ doğrultulu bir doğru etrafında yansıtılırsa, bu yansıtılan doğrunun (vektörün) $\theta ^{\prime }$ doğrultu açısı $\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$ değerine sahiptir.

Bu açıların trigonometrik fonksiyonlarının değerleri $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ belirli açılar $\alpha$ için basit özdeşlikleri karşılar: ya eşittirler, ya zıt işaretlidirler ya da tamamlayıcı trigonometrik fonksiyon kullanırlar. Bunlar indirgeme formülleri olarak da bilinir.

$\alpha =0$'da yansıtılan $\theta$ tek/çift özdeşlikler	$\alpha ={\frac {\pi }{4}}$'te yansıtılan $\theta$	$\alpha ={\frac {\pi }{2}}$'de yansıtılan $\theta$	$\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$'te yansıtılan $\theta$	$\alpha =\pi$'de yansıtılan $\theta$ $\alpha =0$ ile karşılaştıtma
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Kaymalar ve periyodiklik

$\theta$ açısını ${\frac {\pi }{2}}$ artışlarla kaydırırken
(a, b) koordinatlarının dönüşümü.

Bir çeyrek periyot kaydırma	Bir yarım periyot kaydırma	Tam periyotlarla kaydırma	Periyot
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

İşaretler

Trigonometrik fonksiyonların işareti açının çeyreğine (kuadrantına) bağlıdır. Eğer ${-\pi }<\theta \leq \pi$ ve sgn işaret fonksiyonu ise,

$${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&\ 0<\theta <\pi \ {\text{ ise}}\\-1&\ {-\pi }<\theta <0\ {\text{ ise}}\\0&\ \theta \in \{0,\pi \}\ {\text{ ise}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&\ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \ {\text{ ise}}\\-1&\ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{veya}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \ {\text{ ise}}\\0&\ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\ {\text{ ise}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&\ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{veya}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \ {\text{ ise}}\\-1&\ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{veya}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \ {\text{ ise}}\\0&\ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\ {\text{ ise}}\end{cases}}\end{aligned}}$$

Trigonometrik fonksiyonlar ortak periyot $2\pi ,$ ile periyodiktir, bu nedenle $(-\pi ,\pi ],$ aralığının dışındaki θ değerleri için tekrar eden değerler alırlar (yukarıdaki § Kaymalar ve periyodiklik bölümüne bakın).

Açı toplam ve fark özdeşlikleri

Ayrıca bakınız: Trigonometrik özdeşliklerin kanıtları § Açı toplamı özdeşlikleri ve Küçük açı yaklaşımı § Açı toplamı ve farkı

Dar açıların sinüs ve kosinüsleri için açı toplam formüllerinin gösterimi. Vurgulanan parça birim uzunluktadır.		$\sin(\alpha -\beta )$ ve $\cos(\alpha -\beta )$ için açı farkı özdeşliklerini gösteren şekil.

Bunlar aynı zamanda açı toplam ve fark teoremleri (veya formülleri) olarak da bilinir.

$${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$$

$\sin(\alpha -\beta )$ ve $\cos(\alpha -\beta )$ için açı farkı özdeşlikleri, $-\beta$ yerine $\beta$ koyarak ve $\sin(-\beta )=-\sin(\beta )$ ile $\cos(-\beta )=\cos(\beta )$ gerçeklerini kullanarak açı toplamı versiyonlarından türetilebilir. Açı toplamı özdeşlikleri için şeklin biraz değiştirilmiş bir versiyonu kullanılarak da elde edilebilirler, her ikisi de burada gösterilmektedir.

Bu özdeşlikler, diğer trigonometrik fonksiyonlar için toplam ve fark özdeşliklerini de içeren aşağıdaki tablonun ilk iki satırında özetlenmiştir.

Sinüs	$\sin(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Kosinüs	$\cos(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Tanjant	$\tan(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Kosekant	$\csc(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$
Sekant	$\sec(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$
Kotanjant	$\cot(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Arksinüs	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}{\vphantom {y}}}}\right)$
Arkkosinüs	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
Arktanjant	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$
Arkkotanjant	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Sonsuz sayıda açının toplamlarının sinüs ve kosinüsleri

$\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$ serisi, mutlak yakınsar olduğunda;

$${\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{tek}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{çift}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}$$

$\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}$ serisi mutlak yakınsadığı için, $\lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,$ $\lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,$ ve $\lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.$ Özellikle, bu iki özdeşlikte sonlu sayıda açının toplamları durumunda görülmeyen bir asimetri ortaya çıkar: her çarpımda yalnızca sonlu sayıda sinüs çarpanı vardır, ancak dual sonlu çok sayıda kosinüs çarpanı vardır. Sonsuz sayıda sinüs çarpanı olan terimler zorunlu olarak sıfıra eşit olacaktır.

$\theta _{i}$ açılarının yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklı olduğunda, sağ taraftaki terimlerin yalnızca sonlu sayıda olanı sıfırdan farklıdır çünkü sonlu sayıda sinüs çarpanı hariç hepsi yok olur (sadeleşir). Ayrıca, her bir terimde sonlu sayıda kosinüs çarpanı hariç hepsi birimdir (tekildir).

Toplamların tanjantları ve kotanjantları

$e_{k}$ ($k=0,1,2,3,\ldots$ için) değişkenler içinde kinci derece temel simetrik polinom olsun: $$x_{i}=\tan \theta _{i}$$

$i=0,1,2,3,\ldots ,$ için yani,

$${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}$$

Öyleyse yukarıdaki sinüs ve kosinüs toplam formüllerini kullanarak,

$${\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{tek}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{çift}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$$

Sağ taraftaki terim sayısı sol taraftaki terim sayısına bağlıdır.

Örneğin: $${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$$

ve bunun gibi. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu matematiksel tümevarım ile kanıtlanabilir. Sonsuz sayıda terim olması durumu, bazı temel eşitsizlikler kullanılarak kanıtlanabilir.

Toplamların sekantları ve kosekantları

$${\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$$

Burada $e_{k}$, n değişkenlerinde kinci derece temel simetrik polinom olup, $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\dots ,n,$ ve paydadaki terim sayısı ile paydaki çarpımdaki çarpan sayısı soldaki toplamdaki terim sayısına bağlıdır. Sadece sonlu sayıda terim olması durumu, bu tür terimlerin sayısı üzerine matematiksel tümevarım yoluyla kanıtlanabilir.

Örneğin,

$${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$$

Batlamyus teoremi

Ana madde: Batlamyus teoremi

Ayrıca bakınız: Trigonometri tarihi § Klasik antik dönem

Batlamyus teoremi ile sinüs için açı toplamı trigonometri özdeşliği arasındaki ilişkiyi gösteren şekil. Batlamyus teoremi, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Bu kenar uzunlukları yukarıdaki şekilde gösterilen sin ve cos değerleri cinsinden ifade edildiğinde, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Batlamyus teoremi, trigonometrik özdeşlikler tarihinde önemlidir, çünkü sinüs ve kosinüs için toplam ve fark formüllerine eşdeğer sonuçlar ilk kez bu şekilde kanıtlanmıştır. Teorem, yandaki şekilde gösterildiği gibi $ABCD$ çembersel dörtgeninde, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımlarının toplamının köşegenlerin uzunluklarının çarpımına eşit olduğunu belirtir. Köşegenlerden veya kenarlardan birinin dairenin çapı olduğu özel durumlarda, bu teorem doğrudan açı toplamı ve fark trigonometrik özdeşliklerine yol açar. Bu ilişki en kolay şekilde, burada gösterildiği gibi daire bir çap uzunluğunda olacak şekilde inşa edildiğinde ortaya çıkar.

Thales teoremi ile, $\angle DAB$ ve $\angle DCB$ her ikisi de dik açıdır. Dik açılı $DAB$ ve $DCB$ üçgenlerinin her ikisi de uzunluğu 1 olan ${\overline {BD}}$ hipotenüsünü paylaşır. Böylece kenar ${\overline {AB}}=\sin \alpha$, ${\overline {AD}}=\cos \alpha$, ${\overline {BC}}=\sin \beta$ ve ${\overline {CD}}=\cos \beta$ olur.

Çevre açı teoremine göre, çemberin merkezindeki ${\overline {AC}}$ akorunun merkezde oluşturduğu açı $\angle ADC$ açısının iki katıdır, yani $2(\alpha +\beta )$. Dolayısıyla, simetrik kırmızı üçgen çiftinin her birinin merkezinde $\alpha +\beta$ açısı vardır. Bu üçgenlerin her birinin ${\frac {1}{2}}$ uzunluğunda bir hipotenüsü vardır, dolayısıyla ${\overline {AC}}$ uzunluğu $2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )$, yani basitçe $\sin(\alpha +\beta )$. Dörtgenin diğer köşegeni 1 uzunluğundaki çaptır, dolayısıyla köşegenlerin uzunluklarının çarpımı da $\sin(\alpha +\beta )$'dır.

Bu değerler, Batlamyus teoreminin $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$ ifadesinde yerine konulduğunda, sinüs için açı toplamı trigonometrik özdeşliği elde edilir: $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$. $\sin(\alpha -\beta )$ için açı farkı formülü, ${\overline {CD}}$ kenarının ${\overline {BD}}$ yerine çap olarak kullanılmasıyla benzer şekilde türetilebilir.

Açının katları ve yarım açı formülleri

Tn, ninci Chebyshev polinomudur	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$
de Moivre formülü, i sanal birimdir	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$

Açının katları formülleri

Çift açı formülleri

Sinüs için çift açı formülünün görsel ifadesi. Birim kenarlı ve $2\theta$ açılı yukarıdaki ikizkenar üçgen için alan 1/2 × taban × yükseklik iki yönde hesaplanır. Dik durumdayken alan $\sin \theta \cos \theta$ şeklindedir. Yan yattığında ise aynı alan ${\frac {1}{2}}\sin 2\theta$. Bu nedenle, $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Bir açının iki katı için formüller.

$\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

$\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

$\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

Üç kat açı formülleri

Üç kat açılar için formüller.

$\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$

$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$

$\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}$

$\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}$

Çok kat açı formülleri

Çok katlı açılar için formüller.

${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ tek}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}$

$\cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ çift}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta$

$\cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )$

$\cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )$

$\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ tek}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ çift}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}$

Chebyshev yöntemi

Chebyshev yöntemi, $(n-1)$inci ve $(n-2)$inci değerleri bilerek ninci çok katlı açı formülünü bulmak için bir özyineleme algoritmasıdır.

$\cos(nx)$ değeri, $\cos((n-1)x)$, $\cos((n-2)x)$ ve $\cos(x)$'den $\cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)$ eşitliği yardımıyla hesaplanabilir.

Bu durum aşağıdaki formüllerin toplanmasıyla kanıtlanabilir:

$${\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}$$

Tümevarım yoluyla $\cos(nx)$'in $\cos x,$ 'in bir polinomu olduğu sonucuna varılır, buna birinci türden Chebyshev polinomu denir, bkz. Chebyshev polinomları#Trigonometrik tanım.

Benzer şekilde, $\sin(nx)$, $\sin((n-1)x),$ $\sin((n-2)x),$ ve $\cos x$'ten $\sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$ yardımıyla hesaplanabilir.

Bu, $\sin((n-1)x+x)$ ve $\sin((n-1)x-x)$ formülleri eklenerek kanıtlanabilir.

Chebyshev yöntemine benzer bir amaca hizmet ederek, tanjnat için şunu yazabiliriz:

$$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.$$

Yarım açı formülleri

$${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}$$

Ayrıca $${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$$

Tablo

Ayrıca bakınız: Tanjant yarım açı formülü

Bunlar, toplam ve fark özdeşlikleri ya da çoklu açı formülleri kullanılarak gösterilebilir.

	Sinüs	Kosinüs	Tanjant	Kotanjant
Çift açı formülü	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
Üç kat açı formülü	${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
Yarım açı formülü	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

Sinüs ve kosinüs için üç kat açı formülünün yalnızca tek bir fonksiyonun kuvvetlerini içermesi, açıyı üçe bölmenin pergel ve düzeç konstrüksiyonu geometrik problemini kübik denklem çözme cebirsel problemiyle ilişkilendirmeye izin verir, bu da alan teorisi tarafından verilen araçları kullanarak üçlemenin genel olarak imkansız olduğunu kanıtlamaya izin verir.

Üçte bir açı için trigonometrik özdeşlikleri hesaplamak amacıyla bir formül mevcuttur, ancak bu 4x³ − 3x + d = 0 kübik denklemin sıfırlarını yani köklerini bulmayı gerektirir, burada $x$ kosinüs fonksiyonunun üçte birlik açıdaki değeri ve d kosinüs fonksiyonunun tam açıdaki bilinen değeridir. Bununla birlikte, bu denklemin diskriminantı pozitiftir, bu nedenle bu denklemin üç reel kökü vardır (bunlardan sadece biri üçte birlik açının kosinüsü için çözümdür). Bu çözümlerin hiçbiri küp köklerin altında ara karmaşık sayılar kullandıkları için gerçek bir cebirsel ifadeye indirgenemez.

Kuvvet indirgeme formülleri

Kosinüs çift açı formülünün ikinci ve üçüncü versiyonlarının çözülmesiyle elde edilir.

Sinüs	Kosinüs	Diğer
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

Kosinüs kuvvet indirgeme formülü: açıklayıcı bir şekil. Kırmızı, turuncu ve mavi üçgenlerin hepsi benzerdir ve kırmızı ve turuncu üçgenler eştir. Mavi üçgenin ${\overline {AD}}$ hipotenüsü $2\cos \theta$ uzunluğuna sahiptir. $\angle DAE$ açısı $\theta$ olduğundan, bu üçgenin ${\overline {AE}}$ tabanı $2\cos ^{2}\theta$ uzunluğundadır. Bu uzunluk aynı zamanda ${\overline {BD}}$ ve ${\overline {AF}}$ uzunluklarının toplamına eşittir, yani $1+\cos(2\theta )$. Bu nedenle, $2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )$. Her iki tarafı $2$ ile böldüğümüzde kosinüs için kuvvet indirgeme formülü elde edilir: $\cos ^{2}\theta =$ ${\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))$. Kosinüs için yarım açı formülü $\theta$ yerine $\theta /2$ koyarak ve her iki tarafın karekökünü alarak elde edilebilir: $\cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.$		Sinüs kuvvet indirgeme formülü: açıklayıcı bir şekil. Gölgeli mavi ve yeşil üçgenler ile kırmızı çizgili $EBD$ üçgeni dik açılı ve benzerdir ve hepsi $\theta$ açısını içerir. Kırmızı çizgili üçgenin ${\overline {BD}}$ hipotenüsünün uzunluğu $2\sin \theta$, dolayısıyla ${\overline {DE}}$ kenarının uzunluğu $2\sin ^{2}\theta$'dır. ${\overline {AE}}$ doğru parçasının uzunluğu $\cos 2\theta$ ve ${\overline {AE}}$ ile ${\overline {DE}}$ uzunluklarının toplamı ${\overline {AD}}$ uzunluğuna eşittir, yani 1. Dolayısıyla, $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$. Her iki taraftan $\cos 2\theta$ çıkarıldığında ve 2'ye bölündüğünde sinüs için kuvvet indirgeme formülü elde edilir: $\sin ^{2}\theta =$ ${\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))$. Sinüs için yarım açı formülü, $\theta$ yerine $\theta /2$ koyarak ve her iki tarafın karekökünü alarak elde edilebilir: $\sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.$ Bu şeklin aynı zamanda ${\overline {EB}}$ dikey doğru parçasında $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ olduğunu gösterdiğini unutmayın.

Genel olarak $\sin \theta$ veya $\cos \theta$ kuvvetleri cinsinden aşağıdaki doğrudur ve De Moivre formülü, Euler formülü ve binom teoremi kullanılarak çıkarılabilir.

n  ...ise	$\cos ^{n}\theta$	$\sin ^{n}\theta$
n tekse	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
n çiftse	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Çarpım-toplam ve toplam-çarpım özdeşlikleri

Bir ikizkenar üçgen kullanarak prostaphaeresis hesaplamaları için toplam ve fark-çarpım kosinüs özdeşliğinin kanıtı

Çarpım-toplam özdeşlikleri veya prosthaphaeresis formülleri, açı toplam teoremleri kullanılarak sağ tarafları genişletilerek kanıtlanabilir. Tarihsel olarak, bunlardan ilk dördü, astronomik hesaplamalar için kullanan Johannes Werner'den sonra Werner formülleri olarak biliniyordu. Çarpım-toplam formüllerinin bir uygulaması için genlik modülasyonu ve toplam-çarpım formüllerinin uygulamaları için vuru (akustik) ile faz dedektörü bölümlerine bakınız.

Çarpım-toplam özdeşlikleri

$\cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$

$\sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$

$\sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$

$\cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$

$\tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$

$\tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$

${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{burada }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$

$\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;n\;{\text{çift ise}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;n\;{\text{tek ise}}\end{cases}}$

Toplam-çarpım özdeşlikleri

Sinüs ve kosinüs için toplam-çarpım özdeşliklerini gösteren şekil. Mavi dik açılı üçgen $\theta$ açısına ve kırmızı dik açılı üçgen $\varphi$ açısına sahiptir. Her ikisinin de hipotenüs uzunluğu 1'dir. Burada $p$ ve $q$ olarak adlandırılan yardımcı açılar, $p=(\theta +\varphi )/2$ ve $q=(\theta -\varphi )/2$ olacak şekilde oluşturulur. Bu nedenle, $\theta =p+q$ ve $\varphi =p-q$. Bu, her biri hipotenüs $\cos q$ ve tabanlarında $p$ açısı olan iki eş mor dış çizgi üçgenin $AFG$ ve $FCE$ inşa edilmesini sağlar. Kırmızı ve mavi üçgenlerin yüksekliklerinin toplamı $\sin \theta +\sin \varphi$'dir ve bu bir mor üçgenin yüksekliğinin iki katına eşittir, yani $2\sin p\cos q$. Bu denklemdeki $p$ ve $q$ değerlerini $\theta$ ve $\varphi$ cinsinden yazmak sinüs için bir toplam-çarpım özdeşliği verir: $\sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$. Benzer şekilde, kırmızı ve mavi üçgenlerin genişliklerinin toplamı kosinüs için karşılık gelen özdeşliği verir.

Toplam-çarpım özdeşlikleri aşağıdaki gibidir:

$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$

$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$

$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$

$\tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}$

Hermite kotanjant özdeşliği

Ana madde: Hermite kotanjant özdeşliği

Charles Hermite aşağıdaki özdeşliği göstermiştir. $a_{1},\ldots ,a_{n}$ sayılarının, hiçbiri π'nin bir tam sayı katı kadar farklı olmayan karmaşık sayılar olduğunu varsayalım. Varsayalım ki

$$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$$

(özellikle, $A_{1,1},$ bir boş çarpım olmak üzere, 1'dir).O halde

$$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$$

Aşikar olmayan en basit örnek n = 2 durumudur:

$$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$$

Trigonometrik fonksiyonların sonlu çarpımları

n, m aralarında asal tam sayıları için

$$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$$

burada T_n Chebyshev polinomudur.

Sinüs fonksiyonu için aşağıdaki ilişki geçerlidir;

$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$$

Daha genel olarak bir n > 0 tam sayı için

$$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).$$

veya kiriş fonksiyonu ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$ cinsinden yazılabilir,

$$\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).$$

Bu, ${\textstyle z^{n}-1}$ polinomunun doğrusal çarpanlara ayrılmasından gelir. (bkz. birimin kökü): Herhangi bir karmaşık z ve bir tam sayı n > 0 için,

$$z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).$$

Doğrusal kombinasyonlar

Bazı amaçlar için, aynı periyot veya frekansta ancak farklı faz kaymaları olan sinüs dalgalarının herhangi bir doğrusal kombinasyonunun da aynı periyot veya frekansa ancak farklı bir faz kaymasına sahip bir sinüs dalgası olduğunu bilmek önemlidir. Bu sinüzoidal veri uydurma için kullanışlıdır. Ölçülen veya gözlemlenen veriler, aşağıdaki faz içi ve kareleme bileşenleri temelinin a ve b bilinmeyenleri ile doğrusal olarak ilişkili olduğundan, $c$ ve $\varphi$ ile karşılaştırıldığında daha basit bir Jacobyen ile sonuçlanır.

Sinüs ve kosinüs

Sinüs ve kosinüs dalgalarının doğrusal kombinasyonu veya harmonik toplamı, faz kayması ve ölçeklendirilmiş genliğe sahip tek bir sinüs dalgasına eşdeğerdir,

$$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$$

burada $a\neq 0$ olduğu göz önüne alındığında $c$ ve $\varphi$ şu şekilde tanımlanır:

$${\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}$$

Keyfi faz kayması

Daha genel olarak, keyfi faz kaymaları için

$$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$$

Burada $c$ ve $\varphi$ aşağıdaki ifadeleri sağlar: $${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$$

İkiden fazla sinüzoid

Ayrıca bakınız: Fazör toplama

Genel durum şu şekildedir $$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$$ burada $$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$$ ve $$\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$$

Lagrange trigonometrik özdeşlikleri

Adını Joseph Louis Lagrange'dan alan bu özdeşlikler şunlardır:

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}$$ $\theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}$ için.

İlgili bir fonksiyon Dirichlet çekirdeğidir: $$D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.$$

Benzer bir özdeşlik

$$\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.$$

Kanıt aşağıdaki gibidir. açı toplam ve fark özdeşlikleri kullanılarak,

$$\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.$$

O zaman aşağıdaki formülü inceleyelim,

$$2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha$$

ve bu formül yukarıdaki özdeşlik kullanılarak yazılabilir,

$${\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}$$

Dolayısıyla, bu formülü $2\sin \alpha$ ile bölmek kanıtı tamamlar.

Belirli doğrusal kesirli dönüşümler

Eğer $f(x)$ doğrusal kesirli dönüşüm tarafından veriliyorsa

$$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$$ ve benzer şekilde $$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$$ öyleyse $$f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$$

Daha açık bir ifadeyle, eğer tüm $\alpha$ için $f_{\alpha }$ yukarıda $f$ olarak adlandırdığımız şey olsun.

$$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$$

Eğer $x$ bir doğrunun eğimi ise, $f(x)$ doğrunun $-\alpha$ açısı boyunca dönüşünün eğimidir.

Karmaşık üstel fonksiyon ile ilişkisi

Ana madde: Euler formülü

Euler'in formülü, herhangi bir gerçek sayı x için:

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

burada i sanal birimdir. x yerine -x koyduğumuzda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$$

Bu iki denklem, kosinüs ve sinüsü üstel fonksiyon cinsinden çözmek için kullanılabilir. Spesifik olarak, $$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$ $$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$

Bu formüller, diğer birçok trigonometrik özdeşliği kanıtlamak için kullanışlıdır. Örneğin,

e^i(θ+φ) = e^iθ e^iφ demek oluyor ki

cos(θ + φ) + i sin(θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ).

Sol tarafın reel kısmının, sağ tarafın reel kısmına eşit olması kosinüs için bir açı toplama formülüdür. Sanal kısımların eşitliği sinüs için bir açı toplama formülü verir.

Aşağıdaki tablo trigonometrik fonksiyonları ve bunların terslerini üstel fonksiyon ve karmaşık logaritma cinsinden ifade etmektedir.

Fonksiyon	Ters fonksiyon
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Seri açılımları

Trigonometrik fonksiyonları tanımlamak için bir kuvvet serisi açılımı kullanıldığında, aşağıdaki özdeşlikler elde edilir:

$$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$$$$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$$

Sonsuz çarpım formülleri

Özel fonksiyon uygulamaları için, trigonometrik fonksiyonlar için aşağıdaki sonsuz çarpım formülleri kullanışlıdır:

$${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Ters trigonometrik fonksiyonlar

Ana madde: Ters trigonometrik fonksiyonlar

Aşağıdaki özdeşlikler, bir trigonometrik fonksiyonun bir ters trigonometrik fonksiyonla bileşiminin sonucunu verir.

$${\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$$

Yukarıdaki her bir denklemin her iki tarafının çarpımsal tersi alındığında $\csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ ve }}\cot ={\frac {1}{\tan }}$ denklemleri elde edilir. Yukarıdaki formülün sağ tarafı her zaman ters çevrilecektir. Örneğin, $\cot(\arcsin x)$ için denklem şöyledir: $$\cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$$ $\csc(\arccos x)$ ve $\sec(\arccos x)$ için denklemler ise şöyledir: $$\csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ ve }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.$$

Aşağıdaki özdeşlikler, yansıma özdeşlikleri tarafından ortaya konmuştur. $x,r,s,-x,-r,{\text{ ve }}-s$ ilgili fonksiyonların etki alanlarında olduğunda geçerlidirler. $${\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}$$

Aynı zamanda, $${\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&x>0\ \ {\text{ise}}\\-{\frac {\pi }{2}},&x<0\ \ {\text{ise}}\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&x>0\ \ {\text{ise}}\\{\frac {3\pi }{2}},&x<0\ \ {\text{ise}}\end{cases}}\\\end{aligned}}$$ $$\arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ ve }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$$ $$\arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ ve }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$$

Arktanjant fonksiyonu bir seri olarak genişletilebilir: $$\arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}$$

Değişken içermeyen özdeşlikler

Arktanjant fonksiyonu cinsinden aşağıdaki ifadelere sahibiz;

$$\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$$

Morrie yasası olarak bilinen ilginç özdeşlik, $$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$$

tek değişken içeren bir özdeşliğin özel bir durumudur: $$\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.$$

Benzer şekilde, $$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$$ $x=20^{\circ }$ olan bir özdeşliğin özel bir durumudur: $$\sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.$$

$x=15^{\circ }$ durumu için, $${\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$$

$x=10^{\circ }$ durumu için, $$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$$

Aynı kosinüs özdeşliği $$\cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.$$

Benzer şekilde, $${\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$$

Benzer şekilde, $${\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}$$

Aşağıdakiler, değişkenleri içeren bir özdeşliğe kolayca genelleştirilemeyebilir (ancak aşağıdaki açıklamaya bakınız): $$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$$

Bu özdeşliği, paydalarda 21 ile düşündüğümüzde derece ölçüsü radyan ölçüsünden daha isabetli olmaktan çıkar: $$\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.$$

1, 2, 4, 5, 8, 10 çarpanları, modeli netleştirmeye başlayabilir: bunlar 21/2'den küçük olan ve 21 ile göreceli asal olan (veya ortak asal çarpanları olmayan) tam sayılardır. Son birkaç örnek indirgenemez siklotomik polinomlarla ilgili temel bir gerçeğin sonucudur: kosinüsler bu polinomların sıfırlarının gerçel kısımlarıdır; sıfırların toplamı (yukarıdaki son durumda) 21'de değerlendirilen Möbius fonksiyonudur; sıfırların sadece yarısı yukarıda mevcuttur. Bu sonuncusundan önceki iki özdeşlik, 21 yerine sırasıyla 10 ve 15 konduğunda aynı şekilde ortaya çıkar.

Diğer kosinüs özdeşlikleri şunlardır: $${\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}$$ ve tüm tek sayılar için böyle devam eder, dolayısıyla $$\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.$$

Bu ilginç özdeşliklerin birçoğu aşağıdaki gibi daha genel gerçeklerden kaynaklanmaktadır: $$\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$$ ve $$\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.$$

Bunları birleştirmek bize şunları verir; $$\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}$$

Eğer n bir tek sayı ise ($n=2m+1$) simetrilerden yararlanarak şu sonucu elde edebiliriz $$\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}$$

Butterworth alçak geçiren filtresinin transfer fonksiyonu polinom ve kutuplar cinsinden ifade edilebilir. Frekansı kesim frekansı olarak belirleyerek, aşağıdaki özdeşlik kanıtlanabilir: $$\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$$

π'nin hesaplanması

π'yi çok sayıda basamağa kadar hesaplamanın etkili bir yolu, Machin'den kaynaklanan aşağıdaki değişkensiz özdeşliğe dayanır. Bu Machin benzeri formül olarak bilinir: $${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$$ veya alternatif olarak Leonhard Euler'in bir özdeşliğini kullanarak: $${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$$ veya Pisagor üçlülerini kullanarak: $$\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.$$

Diğerleri ise şunlardır: $${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},$$ $$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,$$ $${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$$

Genel olarak, θ_n = Σn−1k=1 arctan t_k ∈ (π/4, 3π/4) olan t₁, ..., t_n−1 ∈ (−1, 1) sayıları için t_n = tan(π/2 − θ_n) = cot θ_n olsun. Bu son ifade, tanjantları t₁, ..., t_n−1 olan bir açılar toplamının kotanjantı için formül kullanılarak doğrudan hesaplanabilir ve değeri (-1, 1) içinde olacaktır. Özellikle, tüm t₁, ..., t_n−1 değerleri rasyonel olduğunda hesaplanan t_n de rasyonel olacaktır. Bu değerlerle, $${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}$$

burada ilk ifade hariç hepsinde tanjnat yarım açı formüllerini kullandık. İlk iki formül, t_k değerlerinden biri veya daha fazlası (-1, 1) içinde olmasa bile çalışır. t = p/q rasyonel ise, yukarıdaki formüllerdeki (2t, 1 − t², 1 + t²) değerlerinin Pisagor üçlüsü (2pq, q² − p², q² + p²) ile orantılı olduğunu unutmayın.

Örneğin, n = 3 terimleri için, $${\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)$$ $\forall \ \ a,b,c,d>0.$

Öklid'in bir özdeşliği

Öklid, Elementler adlı eserinin XIII. Kitabı, 10. Önermesinde bir çemberin içine yerleştirilmiş düzgün beşgenin kenarındaki karenin alanının, aynı çemberin içine yerleştirilmiş düzgün altıgen ve düzgün ongenin kenarlarındaki karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu göstermiştir. Modern trigonometri dilinde bu şöyle ifade edilir: $$\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.$$

Batlamyus bu önermeyi Almagest'in I. Kitap, 11. Bölümünde Batlamyus kirişler tablosundaki bazı açıları hesaplamak için kullanmıştır.

Trigonometrik fonksiyonların bileşimi

Bu özdeşlikler, trigonometrik bir fonksiyonun trigonometrik bir fonksiyonunu içerir:

$\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)$

$\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}$

$\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)$

$\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}$

burada J_i Bessel fonksiyonlarıdır.

α + β + γ = 180° durumu için diğer "koşullu" özdeşlikler

Bir koşullu trigonometrik özdeşlik, trigonometrik fonksiyonların argümanları üzerinde belirtilen koşullar sağlandığında geçerli olan bir trigonometrik özdeşliktir. Aşağıdaki formüller rastgele düzlem üçgenler için geçerlidir ve formüllerde yer alan fonksiyonlar iyi tanımlandığı sürece $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ formülünden takip edilir (ikincisi sadece tanjant ve kotanjantların yer aldığı formüller için geçerlidir). $${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}$$

Tarihsel stenolar

Ana maddeler: Versinüs ve Ekssekant

Versinüs, koversinüs, haversinüs ve ekssekant seyrüseferde kullanılmıştır. Örneğin, haversinüs formülü bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için kullanılmıştır. Günümüzde nadiren kullanılmaktadırlar.

Diğer

Dirichlet çekirdeği

Ana madde: Dirichlet çekirdeği

Dirichlet çekirdeği D_n(x), bir sonraki özdeşliğin her iki tarafında meydana gelen fonksiyondur: $$1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.$$

$2\pi$ periyodundaki herhangi bir integrallenebilir fonksiyonun Dirichlet çekirdeği ile konvolüsyonu, fonksiyonun $n$inci derece Fourier yaklaşımı ile çakışır. Aynı durum herhangi bir ölçü veya genelleştirilmiş fonksiyon için de geçerlidir.

Tanjant yarım açı ikamesi

Ana madde: Tanjant yarım açı ikamesi

Eğer $t=\tan {\frac {x}{2}},$ olarak alırsak $$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},$$ burada $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ bazen cis x olarak kısaltılır.

Kalkülüste $t$ yerine tan x/2 kullanıldığında, $\sin x$ yerine 2t/1 + t², $\cos x$ yerine 1 − t²/1 + t² ve dx diferansiyeli yerine 2 dt/1 + t² yazılır. Böylece $\sin x$ ve $\cos x$'in rasyonel fonksiyonları, antitürevlerini bulmak için $t$'nin rasyonel fonksiyonlarına dönüştürülür.

Viète sonsuz çarpımı

Ayrıca bakınız: Viète formülü ve Sinc fonksiyonu

$$\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .$$

Ayrıca bakınız

• Aristarkus eşitsizliği
• Trigonometrik fonksiyonların türevleri
• Tam trigonometrik değerler (sinüs ve kosinüsün rasyonel olmayan sayı -surd- cinsinden ifade edilen değerleri)
• Ekssekant
• Yarım kenar formülü
• Hiperbolik fonksiyon
• Üçgenlerin çözümü için yasalar:
  • Kosinüs teoremi
    • Küresel kosinüs yasası
  • Sinüs teoremi
  • Tanjant teoremi
  • Kotanjant teoremi
  • Mollweide formülü
• Trigonometrik fonksiyonların integralleri
• Trigonometride anımsatıcılar
• Pentagramma mirificum
• Trigonometrik özdeşliklerin ispatları
• Prosthaphaeresis
• Pisagor teoremi
• Tanjant yarım açı formülü
• Trigonometrik sayı
• Trigonometri
• Trigonometrinin kullanım alanları
• Versinüs ve haversinüs

Dış bağlantılar

• Values of sin and cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5 5/8°, and for the same angles csc and sec and tan
• "Complete List of Trigonometric Formulas". Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link)