Pisagor trigonometrik özdeşliği

Pisagor trigonometrik özdeşliği, daha basit ifadeyle Pisagor özdeşliği olarak da adlandırılır, Pisagor teoremini trigonometrik fonksiyonlar cinsinden ifade eden bir özdeşliktir. Açıların toplam formülleri ile birlikte, sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasındaki temel bağıntılardan biridir. Özdeşlik şu şekildedir:

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.

Her zamanki gibi, $\sin ^{2}\theta$ $(\sin \theta )^{2}$ anlamına gelir.

İspatlar ve Pisagor teoremi ile ilişkileri

θ açısının sinüs ve kosinüsünü gösteren benzer dik üçgenler

Dik açılı üçgenlere dayalı ispat

Herhangi bir benzer üçgen, hepsinde aynı açıyı seçersek, açıyı tanımlayan iki kenarın oranı, hangi benzer üçgen seçilirse seçilsin, gerçek boyutuna bakılmaksızın aynıdır: oranlar, kenarların uzunluklarına değil, üç açıya bağlıdır. Dolayısıyla, şekildeki benzer dik üçgenlerden herhangi biri için, yatay kenarının hipotenüse oranı aynı, yani cos θ'dır.

Bir dik üçgenin kenarları açısından sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının temel tanımları şunlardır:

\sin \theta ={\frac {\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {b}{c}}

\cos \theta ={\frac {\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}}={\frac {a}{c}}

Pisagor özdeşliği, karesini alma ile yukarıdaki her iki tanımın toplanmasıyla elde edilir; özdeşliğin sol taraf şu hale gelir:

{\frac {{\text{karşı kenar}}^{2}+{\text{komşu kenar}}^{2}}{{\text{hipotenüs}}^{2}}}

bu ifade ise açıkça görülebileceği üzere Pisagor teoremine göre 1'e eşittir. Bu tanım tüm açılar için geçerlidir, Birim çember için $x=\cos \theta$ ve $y=\sin \theta$ tanımları nedeniyle $x=c\cos \theta$ ve $y=c\sin \theta$ yarıçapı c olan bir çember için ve üçgenimizi y ekseninde yansıtır ve $a=x$ ve $b=y$ olarak ayarlar.

Alternatif olarak, Trigonometrik simetri, kaymalar ve periyodiklik adresinde bulunan özdeşlikler kullanılabilir. periyodiklik özdeşlikleri ile formül -π < θ ≤ π için doğruysa, tüm gerçel θ için doğrudur diyebiliriz. Daha sonra matematiksel ispat özdeşliğini π/2 < θ ≤ π, aralığında ispatlayacağız, bunu yapmak için t = θ - π/2, t artık 0 < t ≤ π/2. aralığında olacaktır. Daha sonra bazı temel kaydırma özdeşliklerinin kareli versiyonlarını kullanabiliriz (karesini alma işlemi eksi işaretlerini rahatlıkla kaldırır):

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.

Geriye kalan tek şey -π < θ < 0 için bunu kanıtlamaktır; bu da simetri özdeşliklerinin karesini almak suretiyle yapılabilir.

\sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta ){\text{ and }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta ).

İlişkili özdeşlikler

Tanjant ve sekant trigonometrik fonksiyonlarını gösteren benzer dik üçgenler.

Trigonometrik fonksiyonlar ve birim çember üzerindeki karşılıkları. Mavi üçgene uygulanan Pisagor teoremi

1 + cot 2 θ = csc 2 özdeşliğini gösterir; θ

, ve kırmızı üçgene uygulandığında

1 + tan 2 θ = sec 2 θ

olduğunu gösterir.

1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta

ve

1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta

özdeşlikleri, Pisagor trigonometrik özdeşlikleri olarak da adlandırılır.^[1] Bir dik üçgenin bir dik kenarının uzunluğu 1 ise, bu dik kenara bitişik açının tanjant diğer dik kenarının uzunluğudur ve açının sekant hipotenüsün uzunluğudur.

\tan \theta ={\frac {b}{a}},

ve

\sec \theta ={\frac {c}{a}}.

Bu şekilde, tanjant ve sekantı içeren bu trigonometrik özdeşlik Pisagor teoreminden çıkar. Uzunluğu 1 olan dik kenarın karşısındaki açı (bu açı φ = π/2 - θ olarak nitelendirilebilir) diğer dik kenarın uzunluğuna eşit kotanjant ve hipotenüsün uzunluğuna eşit kosekanta sahiptir. Bu şekilde, kotanjant ve kosekantı içeren bu trigonometrik özdeşlik Pisagor teoreminden de çıkar.

Aşağıdaki tabloda özdeşlikler, onları ana özdeşlikle ilişkilendiren çarpan veya bölen ile birlikte verilmektedir.

Orijinal Özdeşlik	Bölen	Bölen Denklemi	Türetilmiş Özdeşlik	Türetilmiş Özdeşlik (Alternatif)
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\cos ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$	$\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$	${\begin{aligned}\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1\\(\sec \theta -\tan \theta )(\sec \theta +\tan \theta )=1\\\end{aligned}}$
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$	$\sin ^{2}\theta$	${\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$	$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$	${\begin{aligned}\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta =1\\(\csc \theta -\cot \theta )(\csc \theta +\cot \theta )=1\\\end{aligned}}$

Birim çember kullanarak ispat

θ > π/2 geniş açısında birim yarıçaplı çember üzerinde P(x, y) noktası

Birim çember üzerinde sinüs fonksiyonu (üstte) ve grafiği (altta)

Öklid düzleminde orijin merkezli birim çember, aşağıdaki denklemle tanımlanır:^[2]

x^{2}+y^{2}=1.

Bir θ açısı verildiğinde, birim çember üzerinde x ekseninden saat yönünün tersine θ açısında tek bir P noktası vardır ve P'nin x ve y koordinatları şunlardır:^[3]

x=\cos \theta \ {\text{ and }}\ y=\sin \theta .

Sonuç olarak, birim çember denkleminden:

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,

Pisagor özdeşliğine ulaşılır.

Şekilde, P noktası negatif bir x-koordinatına sahiptir ve uygun şekilde x = cos θ ile verilir, ki bu negatif bir sayıdır: cos θ = -cos(π-θ). P noktası pozitif bir y-koordinatına sahiptir ve sin θ = sin(π-θ) > 0'dır. θ sıfırdan tam çember θ = 2π'ye arttıkça, sinüs ve kosinüs x ve y'yi doğru işaretlerle tutmak için çeşitli çeyreklerde işaret değiştirir. Şekil, açı bölgesi (çeyrek) değiştirdikçe sinüs fonksiyonunun işaretinin nasıl değiştiğini göstermektedir.

x ve y eksenleri dik olduğundan, bu Pisagor özdeşliği, hipotenüs uzunluğu 1 olan üçgenler için Pisagor teoremine eşdeğerdir (bu da benzer üçgenler argümanını uygulayarak tam Pisagor teoremine eşdeğerdir). Kısa bir açıklama için Birim çember bölümüne bakınız.

Kuvvet serileri kullanarak ispat

Trigonometrik fonksiyonlar kuvvet serileri kullanılarak da tanımlanabilir, yani (x için radyan cinsinden ölçülen bir açı):^[4]^[5]

{\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

Kuvvet serileri için Kuvvet serilerinin çarpımı ve bölümü kısmındaki çarpma formülünü kullanarak (buradaki serilerin biçimini hesaba katmak için uygun şekilde değiştirilmiş) şunu elde ederiz:

{\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}

sin² ifadesinde, n en az 1 olmalıdır, cos² ifadesinde ise sabit terim 1'e eşittir. Binom teoremi kullanılarak toplamlarının kalan terimleri şunlardır (ortak çarpanlar elendiğinde):

\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0

Sonuç olarak,

\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,

Pisagor özdeşliğine ulaşılır.

Trigonometrik fonksiyonlar bu şekilde tanımlandığında, Pisagor teoremi ile birlikte özdeşlik, bu kuvvet serilerinin parametre önceki bölümde kullandığımız birim çemberi gösterdiğini gösterir. Bu tanım sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını titiz bir şekilde oluşturur ve türevlenebilir olduklarını kanıtlar, böylece aslında önceki ikisinin yerini alır.

Diferansiyel denklem kullanarak ispat

Sinüs ve kosinüs, diferansiyel denklemin iki çözümü olarak tanımlanabilir:^[6]

y''+y=0

sırasıyla $y (0) = 0, y'(0) = 1$ ve $y (0) = 1, y'(0) = 0$ eşitliklerini sağlar. Adi diferansiyel denklem]]ler teorisinden, ilk çözüm olan sinüsün ikinci çözüm olan kosinüse türev olarak sahip olduğu ve bundan da kosinüsün türevinin sinüsün negatifi olduğu sonucu çıkar. Bu özdeşlik,

z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x

fonksiyonunun sabit ve 1'e eşit olduğu iddiasına eşdeğerdir. Zincir kuralı kullanılarak türevi elde edilir:

{\frac {d}{dx}}z=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0,

yani z sabittir. Bir hesaplama z(0) = 1 olduğunu ve z'nin bir sabit olduğunu, dolayısıyla tüm x için z = 1 olduğunu doğrular, böylece Pisagor özdeşliği kurulur.

Benzer bir ispat, sinüsün türevi olarak kosinüse ve kosinüsün türevi olarak negatif sinüse sahip olduğunu belirlemek için yukarıdaki gibi kuvvet serileri kullanılarak tamamlanabilir. Aslında, adi diferansiyel denklem ve kuvvet serileri ile yapılan tanımlar çoğu özdeşliğin benzer şekilde türetilmesine yol açar.

Bu özdeşlik ispatının Öklid'in Pisagor teoremini ispatlamasıyla doğrudan bir bağlantısı yoktur.

Euler formülünü kullanarak ispat

Euler formülünü kullanarak $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ ve karmaşık iki kare farkı olarak $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta$ çarpanlarına ayırma,

{\begin{aligned}1&=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\[3mu]&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\[3mu]&=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .\end{aligned}}

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Lawrence S. Leff (2005). PreCalculus the Easy Way . 7. Barron's Educational Series. s. 296. ISBN 0-7641-2892-2.
^ Bu sonuç, orijinden $(x,\ y)$ noktasına olan uzaklık için $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ uzaklık formülü kullanılarak bulunabilir. Bkz. Cynthia Y. Young (2009). Algebra and Trigonometry. 2. Wiley. s. 210. ISBN 978-0-470-22273-7. Bu yaklaşım, Pisagor teoremini varsayar. Alternatif olarak, değerler basitçe değiştirilebilir ve grafiğin bir daire olduğu belirlenebilir.
^ Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw (2008). "§6.2 The sine, cosine and tangent functions". Contemporary Precalculus: A Graphing Approach. 5. Cengage Learning. s. 442. ISBN 978-0-495-10833-7.
^ James Douglas Hamilton (1994). "Power series". Time series analysis. Princeton University Press. s. 714. ISBN 0-691-04289-6.
^ Steven George Krantz (2005). "Definition 10.3". Real analysis and foundations. 2. CRC Press. ss. 269-270. ISBN 1-58488-483-5.
^ Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Example 8.12.1". Linear partial differential equations for scientists and engineers. 4. Springer. s. 316. ISBN 978-0-8176-4393-5.

[Leff-1] Lawrence S. Leff (2005). PreCalculus the Easy Way . 7. Barron's Educational Series. s. 296. ISBN 0-7641-2892-2.

[circle-2] Bu sonuç, orijinden $(x,\ y)$ noktasına olan uzaklık için $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ uzaklık formülü kullanılarak bulunabilir. Bkz. Cynthia Y. Young (2009). Algebra and Trigonometry. 2. Wiley. s. 210. ISBN 978-0-470-22273-7. Bu yaklaşım, Pisagor teoremini varsayar. Alternatif olarak, değerler basitçe değiştirilebilir ve grafiğin bir daire olduğu belirlenebilir.

[Shaw-3] Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw (2008). "§6.2 The sine, cosine and tangent functions". Contemporary Precalculus: A Graphing Approach. 5. Cengage Learning. s. 442. ISBN 978-0-495-10833-7.

[Hamilton-4] James Douglas Hamilton (1994). "Power series". Time series analysis. Princeton University Press. s. 714. ISBN 0-691-04289-6.

[Krantz-5] Steven George Krantz (2005). "Definition 10.3". Real analysis and foundations. 2. CRC Press. ss. 269-270. ISBN 1-58488-483-5.

[Debnath-6] Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Example 8.12.1". Linear partial differential equations for scientists and engineers. 4. Springer. s. 316. ISBN 978-0-8176-4393-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]